Kuunsirppi

30.11.2015 | Opettaja H.

Kuva: Thomas Bresson/Flickr (CC BY 2.0)

Seuraava pulma on peräisin professori Ian Stewartin Incredible Numbers-sovelluksesta iPadille, jossa on paljon muutakin mukavaa matemaattista opittavaa ja mietiskeltävää. Stewartin kirja Kirjeitä nuorelle matemaatikolle (Terra Cognita 2007) on muuten yksi tärkeimmistä populaarimatematiikan nykyesityksistä. Suosittelen sitäkin!

Mutta asiaan.

Leikkaa oheinen kuunsirppi kahdella suoralla leikkauksella kuuteen osaan siirtämättä osia leikkausten välillä.

Ratkaisu: Näin se käy:

Neliön kolmijako

5.11.2015 | Opettaja H.

Neliön yhdestä kärjestä vedetään kaksi kuvan mukaista janaa, jotka jakavat neliön kolmeen yhtä suureen osaan. Missä suhteessa janat jakavat neliön sivut?

Ratkaisu: Sivujen jakosuhde on $2:1$ . Tämä on helppo huomata esimerkiksi piirtämällä neliölle lävistäjä samasta kärjestä, josta janat lähtevät. Nyt muodostuvien symmetristen kolmioiden alojen suhteen on selvästi oltava $2:1$ , jotta alkuperäisten janojen erottama nelikulmio olisi kolmannes koko neliön alasta. Koska kolmioilla on sama korkeusjana (neliön sivu), on alojen suhde välttämättä kannan jakosuhde.

Venäläisen kolmion piiri

3.11.2015 | Opettaja H.

Ystäväni Tuomas Salo törmäsi Moskovan-vierailullaan viime vuosituhannen lopulla seuraavaan oivallisen kauniiseen pulmaan.

Valitaan mielivaltaisesti piste $A$ positiiviselta $x$ -akselilta väliltä $]0,1[$ ja piste $B$ positiiviselta $y$ -akselilta väliltä $]0,1[$ . Valitaan piste $C$ mistä tahansa origokeskisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion $ABC$ piiri on enemmän kuin $2$ .

Ellet muuten usko, voit liikutella pisteitä oheisessa Geogebra-appletissa. Jos appletti ei näy tässä, voit leikkiä sillä Geogebratubessakin.

Ratkaisu: Tämän ongelman voinee ratkaista algebrallakin – Pythagoraan lausetta ja muutamia luotaantyöntäviä yhtälöitä ja niin edelleen. Seuraava ratkaisu on kuitenkin kauneudessaan ilmiömäinen ja, mikä tärkeintä, täysin riittävä.

Peilataan piste $C$ $x$ – ja $y$ -akseleiden suhteen pisteiksi $C'$ ja $C''$ .Nyt symmetrian nojalla janat $AC$ ja $AC'$ ovat keskenään yhtä pitkät, samoin janat $BC$ ja $BC''$ . Näin ollen kolmion $ABC$ piiri on sama kuin murtoviivan $C'ABC''$ pituus. Koska $C'C''$ on ympyrän halkaisija, ja siis pituudeltaan $2$ , on kysytty piiri selvästi tätä pidempi.

Kaarien rajaama ala

9.10.2015 | Opettaja H.

Sain viimein käsiini Thomas Poveyn pulmakirjan nimeltä Professor Povey’s Perplexing Problems (Oneworld Publications, 2015). Jo nopealla ensi silmäilyllä ja todella pintapuolisella selailulla kävi selväksi, että nyt on käsissä helmi. Poveyn mukaan kirjan ongelmat eivät vaadi mitään lukiotason matematiikkaa kummempia menetelmiä, mutta luovaa kykyä ongelmanratkaisuun kyllä kaivataan. Tässä yksi maistiainen kirjan sisällöstä. Näyttää ihan helpolta, mutta –

Neliön sivun pituus on $2a$ . Sen vastakkaisista kärjistä piirretään ympyränkaaret, joiden säteet ovat $a$ ja $2a$ . Mikä on kaarien rajaaman alueen pinta-ala?

Leikatun ja leikkaamattoman neliön palastelu

7.9.2015 | Opettaja H.

Tarkastellaan ensiksi kuviota, joka muodostuu, kun neliöstä leikataan oikeanpuoleinen yläneljännes pois. Pystytkö jakamaan sen neljäksi yhteneväksi (samankokoiseksi ja samanmuotoiseksi) kuvioksi?

Otetaan sitten sama neliö, mutta nyt leikkaamattomana. Pystytkö jakamaan sen viideksi yhteneväksi kuvioksi?

Tämä ongelma on vanha klassikko, josta minua muistutti matemaatikko James Grime Twitterissä. Grime on mainio esiintyjä, joka on poikennut Suomessakin kertoilemassa mm. Alan Turingista ja Enigma-salakirjoituslaitteen murtamisesta.

Neliö, josta on yksi neljännes leikattu, voidaan jakaa neljäksi yhteneväksi kuvioksi näin:

Toinen kysymys johtikin sitten jälleen puujalkavitsiosastolle. Sama neliö voidaan jakaa viiteen yhtenevään palaan esimerkiksi näin:

Kuution sahaus – ratkaisu

24.8.2015 | Opettaja H.

Kuutio voidaan jakaa kuudella suoralla sahauksella 27 tasakokoiseksi pieneksi kuutioksi. Jos yksittäisen sahauksen jälkeen kuution osia voisi mielensä mukaan järjestellä uudelleen, olisiko mahdollista vähentää tarvittavien sahauksien määrää?

Sahauksien lukumäärää ei voi vähentää kuudesta. Keskimmäisessä kuutiossa on kuusi sahattavaa pintaa.

Kuution sahaus

22.8.2015 | Opettaja H.

Rubikin kuutio voidaan jakaa kuudella suoralla sahauksella 27 tasakokoiseksi pieneksi kuutioksi kuvan osoittamalla tavalla. Jos yksittäisen sahauksen jälkeen kuution osia voisi mielensä mukaan järjestellä uudelleen, olisiko mahdollista vähentää tarvittavien sahauksien määrää?

Tämäkin ongelma kumartaa kauniisti Martin Gardnerin suuntaan. Ratkaisu löytyy tästä.

Lävistäjä

13.8.2015 | Opettaja H.

Neljännesympyrän sisällä on kuvan mukainen suorakulmio. Laske lävistäjän $BD$ pituuden tarkka arvo.

Tämä mainio pikku ongelma on napattu jälleen Martin Gardnerilta. Ratkaisitko alle minuutissa?

Ratkaisu ongelmaan on tässä.

Neliön ja ympyrän piiri – ratkaisu

25.7.2015 | Opettaja H.

Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä. Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä?

Tähän ongelmaan on olemassa monta hieman erilaista ratkaisutapaa. Muiden muassa Pythagoraan lauseen, kehäkulmien ja keskuskulmien sekä trigonometrian peruskaavan kautta vastaus voidaan päätellä. Tässä esittelemäni ratkaisulinja nojaa puolestaan yhdenmuotoisiin kolmioihin, ja koska siihen liittyy eräs elegantti tulos, on se mielestäni erityisen kiinnostava. Alun perin tämä ongelma ratkaisuineen tuli vastaan Colin Beveridgen blogissa.

Täydennettään alkuperäistä kuvaa hieman. Piirretään ympyrälle halkaisija $EG$ , joka leikkaa neliön sivua $CD$ pisteessä $F$ . Merkitään neliön sivun pituudeksi $a$ ja janan $FG$ pituutta $b$ . Yhdenmuotoisissa kolmioissahan vastinosien pituuksien suhde säilyy. Kolmioiden yhdenmuotoisuuden osoittamiseksi riittää näyttää, että kolmioissa on kaksi yhtä suurta vastinkulmaparia. Kuvan kolmiot $FED$ ja $FCG$ ovat yhdenmuotoiset, sillä kulma $F$ on molemmissa suora ja lisäksi molemmista kolmioista löytyy samaa kaarta $DG$ vastaavat kehäkulmat, jotka kehäkulmalauseen mukaan ovat yhtä suuret.

Nyt, koska vastinsivujen suhde säilyy, saadaan yhtälö $\frac{EF}{FD}=\frac{CF}{FG}$ , eli $\frac{a}{\frac{1}{2}a}=\frac{\frac{1}{2}a}{b},$ josta $b=\frac{1}{4}a$ , eli ympyrän halkaisija on $\frac{5}{4}$ -kertainen neliön sivuun verrattuna. Tästä seuraa se, että ympyrän piiri on $\frac{5\pi}{4}a$ , joka on hieman vähemmän kuin neliön piiri $4a$ .

Minun mielestäni ratkaisun hienous perustuu juuri tähän yhdenmuotoisten kolmioiden käyttöön, sillä se tekee ratkaisusta hyvin lyhyen ja suoraviivaisen. Itse asiassa tässä hyödynnetään kaikille jännenelikulmioille yhteistä ominaisuutta: lävistäjien leikkauspiste jakaa lävistäjät siten, että leikkautuvien osien tulo on vakio. Tämä tulos saadaan välittömästi yhdenmuotoisista kolmioista, olipa jännenelikulmio millainen tahansa. Tulosta voi kokeilla oheisella Geogebra-appletilla pisteitä liikuttelemalla.

Neliön ja ympyrän piiri

23.7.2015 | Opettaja H.

Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä. Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä?

Tämä ongelma on mielestäni yllättävän haastava – paljon vaikeampi kuin miltä se äkkiseltään näyttää – mutta se on kyllä ratkaistavissa lukion pitkän matematiikan taidoilla. Lisäksi ratkaisu pitää sisällään hauskan yleispätevän lisätuloksen, jota harvoin tulee ajatelleeksi.

Ratkaisu ongelmaan on tässä.

Opettaja H:n pulmakulma

OpettajaH.fi

geometria

Kuunsirppi

Neliön kolmijako

Venäläisen kolmion piiri

Kaarien rajaama ala

Leikatun ja leikkaamattoman neliön palastelu

Kuution sahaus – ratkaisu

Kuution sahaus

Lävistäjä

Neliön ja ympyrän piiri – ratkaisu

Neliön ja ympyrän piiri

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon:

Pistä kiertoon: