2

Hoikka kolmio

Pitkä pulmailutauko on hyvä katkaista Catriona Shearerin Twitterissä esittämällä kauniilla perusgeometrian ongelmalla. Oheisessa kuvassa on neljä neliötä. Vasemmassa alanurkassa olevan neliön pinta-ala on 5. Laske sinisen kolmion pinta-ala.

 


Ratkaisu:  Aloitetaan piirtämällä korkeusjana kolmiolle, jonka kanta on pienen neliön lävistäjä. Nyt huomataan, että koska isoimman neliön (jonka sivun pituutta ei tarvitse tietää!) lävistäjä on kolmion kannan suuntainen, voidaan kolmion huippupistettä siirtää mihin tahansa ison neliön lävistäjällä, eikä kolmion ala muutu. Korkeusjana säilyy ennallaan. Kun huippu saavuttaa ison neliön alakulman, voidaan kolmion ala laskea jo helposti kahden lävistäjän avulla, mutta ollaanpa hieman ahneempia!

Kun huippu on siirretty ison kolmion alakulmaan, voidaan kolmion vasemmanpuolimmainen kärkipiste siirtää vastaavalla tavalla pitkin pienen neliön lävistäjää kohti keskikokoisen neliön kulmaa. Koska myös tässä tarvittavat lävistäjät ovat yhdensuuntaiset, voidaan kolmio muokata alan muuttumatta suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka pinta-ala on selvästi puolet keskimmäisestä neliöstä, eli kaksi kertaa pienen neliön ala. Kysytty ala on siis 10.

0

Ei ihan suorakulmainen kolmio

Suhteellisen pitkän tauon jälkeen on uuden pulman aika. Tämä pulma tuli (vähän eri muodossa) vastaan Presh Talwalkarin Mind Your Decisions -kanavalla YouTubessa.

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 10 ja hypotenuusalle piirretty korkeusjana on 6. Miksei kolmion ala ole 30?


Ratkaisu: Suorakulmaisia kolmioita, joiden hypotenuusa on 10, on useita. Koska samaa kaarta vastaava kehäkulma on puolet keskuskulmasta, voidaan kaikki tällaiset kolmiot muodostaa siten, että suoran kulman kärki valitaan puoliympyrältä, jonka halkaisija on 10. Tällöin puoliympyrän säde on 5, mikä on myös suurin mahdollinen korkeusjanan pituus. Siis tehtävänannon mukaista kolmiota ei voi olla edes olemassa!

0

Neljäksi jaettu neliö

Paul Sloanen ja Des MacHalen kirjassa Mathematical Lateral Thinking Puzzles on yksinkertaisen näköinen ongelma, jonka ratkaiseminen ei olekaan ihan niin simppeliä.

Jaa neliö neljäksi suorakulmioksi siten, että nämä suorakulmiot voidaan järjestellä uudelleen kahdeksi erikokoiseksi neliöksi.


Ratkaisu: Oheisessa kuvassa on neliö, jonka sivun pituus on 5. Tällä tavalla leikaten se voidaan järjestellä neliöiksi, joiden sivujen pituudet ovat 3 ja 4. Sloanen ja MacHalen mukaan muita toimivia sivunpituussuhdekombinaatioita ei ole olemassa. Yllättävää!

0

Pillinvääntöä

Taitetaan mehupilli kahdesta sattumanvaraisesta kohdasta. Millä todennäköisyydellä taitoksista saadaan kolmio?

Kuva: Petter Duvander/Flickr (CC BY-NC 2.0)


Ratkaisu: Kolmioepäyhtälön mukaan kolmio syntyy, mikäli yksikään paloista ei ole pidempi kuin kahden muun summa. Jos sovitaan, että pillin pituus on 1, tämä tarkoittaa sitä, että kunkin kolmesta osasta pitää olla lyhyempi kuin \frac{1}{2}.

Sovitaan, että taitoskohdat ovat x ja y, missä 0<x<1 ja 0<y<1. Kolmio muodostuu jommalla kummalla seuraavista ehdoista:

  1. x<y; x<\frac{1}{2}; y-x<\frac{1}{2}; 1-y<\frac{1}{2} tai
  2. y<x; y<\frac{1}{2}; x-y<\frac{1}{2}; 1-x<\frac{1}{2}.

Oheisessa kuvassa on ensimmäisen ehdon ratkaisualue on sinertävänä ja jälkimmäisen ehdon ratkaisualue vaaleanpunaisena. Kumpikin näistä on kooltaan \frac{1}{8} koko neliöstä, joten kolmio muodostuu todennäköisyydellä \frac{1}{4}.

Tämän pulman lähde on Matthew Scroggsin pulmasivu.

0

Neliöiden naapurit

 

Nyt on vuorossa perusgeometriaa! Oheisessa kuvassa ABCD ja AEFG ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla AGB ja ADE on sama pinta-ala.

Tämä pulma on Daniel Grillerin kirjasta Elastic Numbers. Löysin siihen helpon, mutta melko tylsän ratkaisun, joka on perusteltavissa lukiogeometrialla. Grillerin oma ratkaisu puolestaan on oleellisesti yksinkertaisempi ja kauniimpi. Sen ymmärtää alakoululainenkin! Siksipä tässä on sangen nätti viikon helppo pulma.


Kuva 1: Suplementtikulmat

Ratkaisu: Oma ideani perustui siihen, että koska kulmat BAD ja EAG ovat suoria, ovat kulmat \alpha ja \beta ovat suplementtikulmia, eli ne muodostavat yhdessä 180^{\circ} kulman (kuva 1). Lukiotrigonometriassa opimme rakkaan työkalumme yksikköympyrän avulla, että kulmalla ja sen suplementtikulmalla on sama sini. Ja koska kolmion ABG ala voidaan laskea kaavalla \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \alpha, missä a ja b ovat kulman \alpha kyljet, ja yhtä lailla kolmion ADE ala on \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \beta, niin selvästi kolmioiden alat ovat samat.

Joo, ei hirveän tyylikäs ratkaisu, mutta ratkaisu kuitenkin, ja itse tuloshan on varsin mukava.

Kuva 2: Kierto pisteen A ympäri

Daniel Griller lähtee myös samasta ajatuksesta: \alpha+\beta=180^{\circ}. Mutta hän vie idean nokkelasti pidemmälle (Kuva 2). Koska AB=AD=a, voidaan kolmio AGB kiertää 90 astetta pisteen A ympäri kolmioksi AHD, jossa AH=AG=b ja \gamma=\alpha (ja siis samalla \gamma+\beta=180^{\circ}, joten pisteet A, E ja H ovat samalla suoralla). Nyt meillä on kaksi kolmiota, AHD ja AED, joilla on sama kanta b ja sama korkeus, mistä ratkaisu välittömästi seuraa.

0

Pythagoraan piirakka

Kaikkihan me tunnemme Pythagoraan, tuon antiikin Kreikassa eläneen oppineen, jonka nimiin pantu lause (jota hän ei tietenkään ole itse keksinyt) on keskeistä koulugeometriaa peruskoulusta alkaen. Pythagoras on myös hollantilainen matematiikkalehti, joka on ilmestynyt jo 1960-luvun alusta alkaen. Seuraava Pythagoras-lehdessä julkaistu hieno pulma tuli vastaan Alex Bellosin pulmapalstalla The Guardianissa.

Isoissa juhlissa on hillittömän kokoinen piirakka. Ensimmäinen juhlavieras saa yhden prosentin piirakasta, seuraava kaksi prosenttia jäljellä olevasta piirakasta, kolmas kolme prosenttia jäljellä olevasta piirakasta ja niin edelleen, kunnes sadas vieras saa koko viimeisen palan. Kuka saa suurimman palan?

No niin, tämä pulma olisi tietenkin helppo ratkaista tietokoneen tai laskimen avulla laskemalla likiarvot kaikista paloista suhteessa koko piirakkaan, mutta itse ajattelin, että tähän täytyy olla joku kiinnostavampikin ratkaisutapa. Ja tovin pohdittuani sellaisen löysinkin: tehtävä ratkeaa pelkkää kynää ja paperia käyttäen, eivätkä tarvittavat laskutoimitukset ole lukion pitkän matematiikan kakkoskurssin tasoa hankalampia. Onnea matkaan!

Kuva: Ruth Hartnup / Flickr (CC BY 2.0)


Ratkaisu: Kymmenes vieras saa suurimman palan. Osoitetaan tämä tutkimalla peräkkäisten osuuksien suhteellisia kokoja. Näytetään siis, että kymmenenteen vieraaseen asti palaset kasvavat ja sen jälkeen ne pienenevät.

Olkoon jäljellä olevan piirakan määrä vieraan k vuorolla P. Näin ollen vieraan k osuus on \frac{k}{100}\cdot P. Piirakkaa jää jäljelle \frac{100-k}{100}\cdot P, josta seuraavan vieraan palan suuruus on näin ollen \frac{k+1}{100}\cdot\frac{100-k}{100}\cdot P. Ratkaistaan nyt epäyhtälö

    \[\frac{k}{100}\cdot P>\frac{k+1}{100}\cdot \frac{100-k}{100}\cdot P.\]

Positiivisena lukuna P voidaan jakaa nyt pois. Kun epäyhtälö kerrotaan 10000:lla ja siirretään kaikki termit samalle puolelle, saadaan muoto

    \[k^2+k-100>0.\]

Vasemmanpuoleisen lausekkeen nollakohdat ovat

    \[k=\frac{-1\pm\sqrt{401}}{2}.\]

Tässä vaiheessa tavalliset ihmiset viimeistään tarttuisivat laskimeen, mutta meidän tapauksessamme se ei ole tarpeen – olihan tavoitteemme ratkoa koko pulma vain kynän ja paperin avulla. Nyt \sqrt{400}=20, joten \sqrt{401} on vain vähän enemmän (joka tapauksessa reilusti alle 21). Siis lausekkeemme nollakohdat ovat riittävällä tarkkuudella k\approx -10,5 ja k\approx 9,5. Koska lausekkeen k^2+k-100 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, epäyhtälön k^2+k-100>0 ratkaisujoukkona ovat (suunnilleen) välit k<-10,5 ja k>9,5 (joista negatiivisella vaihtoehdolla ei kannaltamme ole väliä).

Tulkitaan tämä ratkaisu. Alkuperäinen epäyhtälömme vastaa kysymykseen, milloin edellinen pala on seuraavaa suurempi. Saamastamme ratkaisusta voidaan päätellä, että tämä on totta suunnilleen k:n arvosta 9,5 alkaen. Koska k saa vain kokonaislukuarvoja, pätee tulos siis arvosta k=10 alkaen. Kymmenes pala on siis suurempi kuin yhdestoista, mutta yhdeksäs pala ei ole suurempi kuin kymmenes. Suurimman palan saa siis kymmenes vieras, sillä kymmenes on suurempi kuin yhdestoista, joka taas on suurempi kuin kahdestoista joka on suurempi kuin kolmastoista ja niin edelleen.

Toki kaikkien osuuksien likiarvotkin on helppo laskea, ei tosin ilman apuvälineitä. Oheisen taulukon luontiin Excelillä ei mennyt kuin hetki. Kymmenes vieras rohmuaa melkein 6,3 prosenttia koko piirakasta. Jos se jotakuta nyt kiinnostaa.

Piirakkaosuudet

0

Varjostetun alueen ala

Melko pitkän tauon (anteeksi, ystävät!) jälkeen Pulmakulma aktivoituu jälleen. Twitterissä tuli vastaan Mandy Wandlingin jakamana hauska kompatehtävä. Laske oheisesta kuvasta varjostetun alueen pinta-ala. Laske se sen jälkeen uudestaan.


Ratkaisu: Alhaalla olevien pienten kolmioiden alat ovat \frac{5\cdot 10}{2}=25 ja huipulla olevan kolmion ala on \frac{15\cdot 24}{2}=180. Näin ollen varjostetun alueen ala on 25+25=180=230 neliömetriä. Helppoa, eikö vain?

Ongelmia tulee siinä tapauksessa, että olettaa koko kuvion olevan tasakylkinen kolmio. Sitähän se ei ole, sillä alaosan kylkien kulmakerroin on \frac{10}{5}=2 ja huippuosan puolestaan \frac{15}{12}=\frac{5}{4}. Siispä täysin mahdollisen näköinen ratkaisu \frac{34\cdot 25}{2}-10\cdot 24=185 on ilman muuta virheellinen. Mallikuvat ovat mallikuvia!

2

Kolmion ja neliön piiri

Pitkän matematiikan tämänkeväisessä preliminäärikokeessa oli yksi kaunis tehtävä, josta saadaan mukava viikon vaikea pulma. Näin se kuuluu:

Neliöllä ja suorakulmaisella kolmiolla on sama pinta-ala. Kumman piiri on pidempi?

Kuva: Joost Markerink / Flickr (CC BY 2.0)

 

0

Nelikulmion lävistäjä

Opiskelijani Timo Hartikainen oli taannoin törmännyt Päivölän opistossa Suomen matemaattisen yhdistyksen olympiavalmennuksessa kiinnostavaan ongelmaan. Tehtävänanto kuuluu seuraavasti:

Nelikulmiossa ABCD kulma \angle A=102^{\circ}, kulma \angle C=129^{\circ} ja sivut |AD|=|AB|=1. Laske lävistäjän AC pituus.


Ratkaisu: Pulman ratkaisu perustuu jännenelikulmioon, eli nelikulmioon, jonka kärjet ovat ympyrän kehällä. Nyt alkuperäinen nelikulmiomme ABCD ei ole jännenelikulmio, sillä jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina 180^{\circ}. Sen sijaan jos täydennämme kuvaa niin, että mukaan tulee kärki E, jossa on 51^{\circ} kulma, tilanne muuttuu. Nyt koska 51^{\circ}=\frac{102^{\circ}}{2}, ja koska ympyrän keskuskulma on kaksinkertainen samaa kaarta vastaavaan kehäkulmaan verrattuna, on A keskipiste ympyrälle, jonka sisään piirretty jännenelikulmio EBCD on. Koska |AB|=|AD|=1, on myös AC=1, sillä sekin on ympyrän säde.

0

Auringonpimennys

Seuraava pulma löytyi Greg Rossin mainiolta Futility Closet -sivustolta. Ross oli puolestaan löytänyt A. Kozlovin alkuperäisen pulman venäläisestä Kvant-lehdestä. Asiaan.

H. katselee lapsensa kanssa täydellistä auringonpimennystä. Lapsi kysyy H:lta, kuinka moninkertainen auringon etäisyys maasta on verrattuna kuun etäisyyteen. H. aprikoi hetken ja muistelee, että aurinko on noin 387 kertaa kauempana maasta kuin kuu. H:n lapsi, älykäs nuorukainen, pohtii hetken ja sanoo, että sittenhän hän osaa laskea, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. H. sanoo lapselle, että hän on oikeassa.

Viikon helppo pulma on selvittää, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. Viikon vaikea pulma on laskea se ilman laskinta.

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)


Ratkaisu: Koska täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää auringon melko lailla tarkalleen, voidaan ajatella ne ovat yhdenmuotoiset kappaleet. Näin olleen niiden tilavuudet ovat verrannolliset etäisyyksien kuutioon, joten auringon tilavuus on 387^3-kertainen kuun tilavuuteen verrattuna.

Tässä viikon helppo. Viikon hieman haastavampi pulma oli laskea luku 387^3 ilman laskimen apua. Onnistuitko? Minä onnistuin.

Ensinnäkin 387^3=(400-13)^3, josta Pascalin kolmion avulla saadaan

    \[387^3=400^3-3\cdot 400^2\cdot 13+3\cdot 400\cdot 13^2-13^3.\]

Nyt

  • 400^3=64000000
  • 3\cdot 400^2\cdot 13=480000\cdot 13=4800000+3\cdot 480000=6240000
  • 13^3=(10+3)^3=1000+900+270+27=2197
  • 3\cdot 400\cdot 13^2=12\cdot 13^2\cdot 100=(2197-169)\cdot 100=202800

Siis

    \[387^3=64000000-6240000+202800-2197=57960603.\]

No, oliko tämän laskemisesta ilman laskinta mitään hyötyä? Ehkei, mutta sainpa ainakin itse aikani kulumaan uusintakokeita eräänä iltana koulullamme valvoessani.