Venäläisen kolmion piiri

Ystäväni Tuomas Salo törmäsi Moskovan-vierailullaan viime vuosituhannen lopulla seuraavaan oivallisen kauniiseen pulmaan.

Valitaan mielivaltaisesti piste A positiiviselta x-akselilta väliltä ]0,1[ ja piste B positiiviselta y-akselilta väliltä ]0,1[. Valitaan piste C mistä tahansa origokeskisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion ABC piiri on enemmän kuin 2.

Ellet muuten usko, voit liikutella pisteitä oheisessa Geogebra-appletissa. Jos appletti ei näy tässä, voit leikkiä sillä Geogebratubessakin.


 

Ratkaisu: Tämän ongelman voinee ratkaista algebrallakin – Pythagoraan lausetta ja muutamia luotaantyöntäviä yhtälöitä ja niin edelleen. Seuraava ratkaisu on kuitenkin kauneudessaan ilmiömäinen ja, mikä tärkeintä, täysin riittävä.venalainenongelma

Peilataan piste C x– ja y-akseleiden suhteen pisteiksi C' ja C''.Nyt symmetrian nojalla janat AC ja AC' ovat keskenään yhtä pitkät, samoin janat BC ja BC''. Näin ollen kolmion ABC piiri on sama kuin murtoviivan C'ABC'' pituus. Koska C'C'' on ympyrän halkaisija, ja siis pituudeltaan 2, on kysytty piiri selvästi tätä pidempi.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *