0

Neliöiden naapurit

 

Nyt on vuorossa perusgeometriaa! Oheisessa kuvassa ABCD ja AEFG ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla AGB ja ADE on sama pinta-ala.

Tämä pulma on Daniel Grillerin kirjasta Elastic Numbers. Löysin siihen helpon, mutta melko tylsän ratkaisun, joka on perusteltavissa lukiogeometrialla. Grillerin oma ratkaisu puolestaan on oleellisesti yksinkertaisempi ja kauniimpi. Sen ymmärtää alakoululainenkin! Siksipä tässä on sangen nätti viikon helppo pulma.


Kuva 1: Suplementtikulmat

Ratkaisu: Oma ideani perustui siihen, että koska kulmat BAD ja EAG ovat suoria, ovat kulmat \alpha ja \beta ovat suplementtikulmia, eli ne muodostavat yhdessä 180^{\circ} kulman (kuva 1). Lukiotrigonometriassa opimme rakkaan työkalumme yksikköympyrän avulla, että kulmalla ja sen suplementtikulmalla on sama sini. Ja koska kolmion ABG ala voidaan laskea kaavalla \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \alpha, missä a ja b ovat kulman \alpha kyljet, ja yhtä lailla kolmion ADE ala on \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \beta, niin selvästi kolmioiden alat ovat samat.

Joo, ei hirveän tyylikäs ratkaisu, mutta ratkaisu kuitenkin, ja itse tuloshan on varsin mukava.

Kuva 2: Kierto pisteen A ympäri

Daniel Griller lähtee myös samasta ajatuksesta: \alpha+\beta=180^{\circ}. Mutta hän vie idean nokkelasti pidemmälle (Kuva 2). Koska AB=AD=a, voidaan kolmio AGB kiertää 90 astetta pisteen A ympäri kolmioksi AHD, jossa AH=AG=b ja \gamma=\alpha (ja siis samalla \gamma+\beta=180^{\circ}, joten pisteet A, E ja H ovat samalla suoralla). Nyt meillä on kaksi kolmiota, AHD ja AED, joilla on sama kanta b ja sama korkeus, mistä ratkaisu välittömästi seuraa.

2

Kolmion ja neliön piiri

Pitkän matematiikan tämänkeväisessä preliminäärikokeessa oli yksi kaunis tehtävä, josta saadaan mukava viikon vaikea pulma. Näin se kuuluu:

Neliöllä ja suorakulmaisella kolmiolla on sama pinta-ala. Kumman piiri on pidempi?

Kuva: Joost Markerink / Flickr (CC BY 2.0)

 

0

Ykkösiä, ei neliöitä

Osoita, ettei yksikään jonon 11, 111, 1111, 11111,\ldots jäsen ole kokonaisluvun neliö.


Ratkaisu: Jonon 11, 111, 1111, 11111,\ldots jokainen luku voidaan kirjoittaa muodossa 100m+11=4(25m+2)+3, jossa m on kokonaisluku. Näin ollen aina, kun jotain jonon luvuista jaetaan 4:llä, jakojäännökseksi jää 3.

Parilliset kokonaisluvut voidaan esittää muodossa 2n, jossa n on kokonaisluku. Näin ollen parillisten kokonaislukujen neliöt voidaan esittää muodossa (2n)^2=4n^2, eli parillisten lukujen neliöitä 4:llä jaettaessa jako menee aina tasan. Vastaavasti parittomat luvut voidaan esittää muodossa (2n+1), jolloin niiden neliöt voidaan esittää muodossa 4n^2+4n+1. Parittomien lukujen neliöitä 4:llä jaettaessa jakojäännös on siis aina 1. Siis mikään jonon  11, 111, 1111, 11111,\ldots luvuista ei voi olla kokonaisluvun neliö.

Tämä pulma on Stanfordin yliopiston matematiikkakilpailusta vuodelta 1949.

0

Suorakaide neljännesympyrällä

Näyttökuva 2016-4-20 kello 7.18.48Neliön sisään piirretään neljännesympyrä niin, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa kuvan mukainen neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivut ovat 1 ja 8. Kuinka pitkä on neliön sivu?

Tämä pulma tuli vastaan jokin aika sitten Twitterissä. Tässä muodossa pulma on Matthew Scroggsilta.


Ratkaisu: Olkoon neliön sivu (ja samalla neljännesympyrän säde) r. Piirretään neljännesympyrän kehältä kohtisuora jana neliön sivulle. Nyt saadaan suorakulmainen kolmio, jonka sivujen pituudet ovat r-8, r-1 ja r. Tästä Pythagoraan mukaan saadaan (r-8)^2+(r-1)^2=r^2. Yhtälön ratkaisut ovat r=13 ja r=5, mutta jälkimmäinen ei tietenkään kelpaa, sillä selvästi r>8.Näyttökuva 2016-4-25 kello 11.06.01

0

Neliön kolmijako

Neliön yhdestä kärjestä vedetään kaksi kuvan mukaista janaa, jotka jakavat neliön kolmeen yhtä suureen osaan. Missä suhteessa janat jakavat neliön sivut?Näyttökuva 2015-11-5 kello 19.25.34


 

Ratkaisu: Sivujen jakosuhde on 2:1. Tämä on helppo huomata esimerkiksi piirtämällä neliölle lävistäjä samasta kärjestä, josta janat lähtevät. Nyt muodostuvien symmetristen kolmioiden alojen suhteen on selvästi oltava 2:1, jotta alkuperäisten janojen erottama nelikulmio olisi kolmannes koko neliön alasta. Koska kolmioilla on sama korkeusjana (neliön sivu), on alojen suhde välttämättä kannan jakosuhde.

Näyttökuva 2015-11-5 kello 19.27.07