0

Neliöiden naapurit

 

Nyt on vuorossa perusgeometriaa! Oheisessa kuvassa ABCD ja AEFG ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla AGB ja ADE on sama pinta-ala.

Tämä pulma on Daniel Grillerin kirjasta Elastic Numbers. Löysin siihen helpon, mutta melko tylsän ratkaisun, joka on perusteltavissa lukiogeometrialla. Grillerin oma ratkaisu puolestaan on oleellisesti yksinkertaisempi ja kauniimpi. Sen ymmärtää alakoululainenkin! Siksipä tässä on sangen nätti viikon helppo pulma.


Kuva 1: Suplementtikulmat

Ratkaisu: Oma ideani perustui siihen, että koska kulmat BAD ja EAG ovat suoria, ovat kulmat \alpha ja \beta ovat suplementtikulmia, eli ne muodostavat yhdessä 180^{\circ} kulman (kuva 1). Lukiotrigonometriassa opimme rakkaan työkalumme yksikköympyrän avulla, että kulmalla ja sen suplementtikulmalla on sama sini. Ja koska kolmion ABG ala voidaan laskea kaavalla \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \alpha, missä a ja b ovat kulman \alpha kyljet, ja yhtä lailla kolmion ADE ala on \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \beta, niin selvästi kolmioiden alat ovat samat.

Joo, ei hirveän tyylikäs ratkaisu, mutta ratkaisu kuitenkin, ja itse tuloshan on varsin mukava.

Kuva 2: Kierto pisteen A ympäri

Daniel Griller lähtee myös samasta ajatuksesta: \alpha+\beta=180^{\circ}. Mutta hän vie idean nokkelasti pidemmälle (Kuva 2). Koska AB=AD=a, voidaan kolmio AGB kiertää 90 astetta pisteen A ympäri kolmioksi AHD, jossa AH=AG=b ja \gamma=\alpha (ja siis samalla \gamma+\beta=180^{\circ}, joten pisteet A, E ja H ovat samalla suoralla). Nyt meillä on kaksi kolmiota, AHD ja AED, joilla on sama kanta b ja sama korkeus, mistä ratkaisu välittömästi seuraa.

2

Kolmion ja neliön piiri

Pitkän matematiikan tämänkeväisessä preliminäärikokeessa oli yksi kaunis tehtävä, josta saadaan mukava viikon vaikea pulma. Näin se kuuluu:

Neliöllä ja suorakulmaisella kolmiolla on sama pinta-ala. Kumman piiri on pidempi?

Kuva: Joost Markerink / Flickr (CC BY 2.0)

 

0

Kolmion kulma

Otetaanpa välillä yksi mielenkiintoinen perusgeometrian ongelma.colingeo

Oheisessa kuvassa piste P on ympyrän keskipiste ja pisteet A, B ja C ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste D on suorien AP ja CB leikkauspiste ja janat PC ja CD ovat yhtä pitkät. Kulman \angle APB suuruus on 69^{\circ}. Kuinka suuri on kulma \alpha?


Ratkaisu: Kolmio PDC on tasakylkinen, joten myös kulma \angle CPD=\alpha. Koska kolmion yhden kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summa, saadaan \angle PCB=2\alpha. Koska myös PB on ympyrän säde, on kolmio PCB tasakylkinen, eli \angle PBC=2\alpha. Tästä edelleen vieruskulmalausetta soveltaen huomataan, että 2\alpha+2\alpha = \alpha + 69^{\circ}. Siis \alpha=23^{\circ}.

0

Tylppäkulmainen kolmio

Ajattelin aluksi kysyä seuraavaa. Valitaan tasosta kolme sattumanvaraista pistettä. Millä todennäköisyydellä ne ovat tylppäkulmaisen kolmion kärkipisteet?

Tämä pirullisen haastava pulma löytyy Charles Lutwidge Dodgsonin (eli Lewis Carrollin) kirjasta Pillow-Problems. Hän on siis keksinyt ja ratkonut pulman päässään unettomana yönä. Tähän ongelmaan liittyy kuitenkin isohko mutta: se ei ole hyvin määritelty, sillä riippuen ratkaisun lähestymistavasta tehtävään voi saada monta erilaista ratkaisua. Alkuperäisen ongelman täydellinen ratkaisu vaatisi noin seitsemän sivua hyvää matematiikkaa (sisältää juonipaljastuksia – älä avaa, jos haluat ratkoa pulman itse!), mikä ei suinkaan ollut alkuperäinen ajatukseni pulmaa tänne laittaessani. Kysytään siis nyt täsmällisemmin sitä, mitä halusin kysyä. Ihan riittävän vaikea tämä pulma on seuraavanlaisellakin muotoilulla.

Valitaan mielivaltaiset pisteet A ja B tasosta. Millä todennäköisyydellä kolmio ABC on tylppäkulmainen, kun AB on kolmion pisin sivu ja C on satunnainen tämän ehdon täyttävä piste?

Lisähupia ongelmaan saa sillä, että laskee todennäköisyyden tylppäkulmaiselle kolmiolle, kun AB on toiseksi pisin sivu.

Pulmaa muokattu 30.5.2016 klo 19.35 asiasta Facebookissa virinneen keskustelun vuoksi. Kiitokset avusta, Antti Saarinen ja Toni Vaahtera!

0

Kulmanpuolittajien välinen kulma

Kuinka suuressa kulmassa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien puolittajat leikkaavat? Entä yleistyykö tämä tulos myös muihin kolmioihin?


Ratkaisu: kulmanpuolittajat

Tutkitaan kolmiota ABC, jonka kulma C on suora. Olkoot kulman A suuruus \alpha ja kulman B vastaavasti \beta. Näin ollen \alpha + \beta = 90^{\circ}. Tutkitaan sitten kulmanpuolittajien ja hypotenuusan rajaamaa kolmiota ABD. Nyt koska \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\delta=180^{\circ}, ja koska \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}, niin välttämättä \delta=135^{\circ}. Toinen kulmanpuolittajien välisistä kulmista on tämän vieruskulma, eli 45^{\circ}.

Tulos on aika hauska ja toimii selvästi kaikissa suorakulmaisissa kolmioissa. Ihan yhtä nätisti tämä tulos ei kaikkiin kolmioihin yleisty, sillä jos alkuperäisen kolmion kolmas kulma olisi \gamma, jäisi kulmanpuolittajien välisiksi kulmiksi tällöin 90^{\circ}+\frac{\gamma}{2} ja 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.

0

Tangenttikolmio

Näyttökuva 2015-12-11 kello 15.46.15Ympyrälle piirretään tangentit kehän ulkopuolisesta pisteestä C. Tangenttien sivuamispisteet D ja E ovat etäisyydellä 10 pisteestä C. Piirretään ympyrälle vielä yksi tangentti pisteiden C ja D välisellä kaarella olevan pisteen F kautta. Olkoon tämän tangentin ja aiempien tangenttien leikkauspisteet A ja B. Laske kolmion ABC piiri.

Martin Gardner ainakin on tätä ongelmaa esitellyt.


Ratkaisu: Aivan vastaavasti kuin piste C on tangenttikulman kärki, myös pisteet A ja B ovat. Voidaan helposti osoittaa, että tangenttikulman kärki on aina yhtä etäällä molemmista tangenttipisteistä, eli samaan tapaan kuin |DC|=|EC|, voidaan myös todeta, että |AD|=|AF| ja |BE|=|BF|. Siis kolmion ABC piiri on 20.

0

Venäläisen kolmion piiri

Ystäväni Tuomas Salo törmäsi Moskovan-vierailullaan viime vuosituhannen lopulla seuraavaan oivallisen kauniiseen pulmaan.

Valitaan mielivaltaisesti piste A positiiviselta x-akselilta väliltä ]0,1[ ja piste B positiiviselta y-akselilta väliltä ]0,1[. Valitaan piste C mistä tahansa origokeskisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion ABC piiri on enemmän kuin 2.

Ellet muuten usko, voit liikutella pisteitä oheisessa Geogebra-appletissa. Jos appletti ei näy tässä, voit leikkiä sillä Geogebratubessakin.


 

Ratkaisu: Tämän ongelman voinee ratkaista algebrallakin – Pythagoraan lausetta ja muutamia luotaantyöntäviä yhtälöitä ja niin edelleen. Seuraava ratkaisu on kuitenkin kauneudessaan ilmiömäinen ja, mikä tärkeintä, täysin riittävä.venalainenongelma

Peilataan piste C x– ja y-akseleiden suhteen pisteiksi C' ja C''.Nyt symmetrian nojalla janat AC ja AC' ovat keskenään yhtä pitkät, samoin janat BC ja BC''. Näin ollen kolmion ABC piiri on sama kuin murtoviivan C'ABC'' pituus. Koska C'C'' on ympyrän halkaisija, ja siis pituudeltaan 2, on kysytty piiri selvästi tätä pidempi.