0

Neliöiden naapurit

 

Nyt on vuorossa perusgeometriaa! Oheisessa kuvassa ABCD ja AEFG ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla AGB ja ADE on sama pinta-ala.

Tämä pulma on Daniel Grillerin kirjasta Elastic Numbers. Löysin siihen helpon, mutta melko tylsän ratkaisun, joka on perusteltavissa lukiogeometrialla. Grillerin oma ratkaisu puolestaan on oleellisesti yksinkertaisempi ja kauniimpi. Sen ymmärtää alakoululainenkin! Siksipä tässä on sangen nätti viikon helppo pulma.


Kuva 1: Suplementtikulmat

Ratkaisu: Oma ideani perustui siihen, että koska kulmat BAD ja EAG ovat suoria, ovat kulmat \alpha ja \beta ovat suplementtikulmia, eli ne muodostavat yhdessä 180^{\circ} kulman (kuva 1). Lukiotrigonometriassa opimme rakkaan työkalumme yksikköympyrän avulla, että kulmalla ja sen suplementtikulmalla on sama sini. Ja koska kolmion ABG ala voidaan laskea kaavalla \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \alpha, missä a ja b ovat kulman \alpha kyljet, ja yhtä lailla kolmion ADE ala on \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \beta, niin selvästi kolmioiden alat ovat samat.

Joo, ei hirveän tyylikäs ratkaisu, mutta ratkaisu kuitenkin, ja itse tuloshan on varsin mukava.

Kuva 2: Kierto pisteen A ympäri

Daniel Griller lähtee myös samasta ajatuksesta: \alpha+\beta=180^{\circ}. Mutta hän vie idean nokkelasti pidemmälle (Kuva 2). Koska AB=AD=a, voidaan kolmio AGB kiertää 90 astetta pisteen A ympäri kolmioksi AHD, jossa AH=AG=b ja \gamma=\alpha (ja siis samalla \gamma+\beta=180^{\circ}, joten pisteet A, E ja H ovat samalla suoralla). Nyt meillä on kaksi kolmiota, AHD ja AED, joilla on sama kanta b ja sama korkeus, mistä ratkaisu välittömästi seuraa.

0

Varjostetun alueen ala

Melko pitkän tauon (anteeksi, ystävät!) jälkeen Pulmakulma aktivoituu jälleen. Twitterissä tuli vastaan Mandy Wandlingin jakamana hauska kompatehtävä. Laske oheisesta kuvasta varjostetun alueen pinta-ala. Laske se sen jälkeen uudestaan.


Ratkaisu: Alhaalla olevien pienten kolmioiden alat ovat \frac{5\cdot 10}{2}=25 ja huipulla olevan kolmion ala on \frac{15\cdot 24}{2}=180. Näin ollen varjostetun alueen ala on 25+25=180=230 neliömetriä. Helppoa, eikö vain?

Ongelmia tulee siinä tapauksessa, että olettaa koko kuvion olevan tasakylkinen kolmio. Sitähän se ei ole, sillä alaosan kylkien kulmakerroin on \frac{10}{5}=2 ja huippuosan puolestaan \frac{15}{12}=\frac{5}{4}. Siispä täysin mahdollisen näköinen ratkaisu \frac{34\cdot 25}{2}-10\cdot 24=185 on ilman muuta virheellinen. Mallikuvat ovat mallikuvia!

2

Kolmion ja neliön piiri

Pitkän matematiikan tämänkeväisessä preliminäärikokeessa oli yksi kaunis tehtävä, josta saadaan mukava viikon vaikea pulma. Näin se kuuluu:

Neliöllä ja suorakulmaisella kolmiolla on sama pinta-ala. Kumman piiri on pidempi?

Kuva: Joost Markerink / Flickr (CC BY 2.0)

 

0

Oi aitoja, oi latoja!

Matemaattisesti suuntautuneella maanviljelijä H:lla on ongelma. Hänellä on iso pelto ja sen keskellä neliöpohjainen lato. Hän haluaa rakentaa ladon luo suorakulmion muotoisen aitauksen, joka rajaa mahdollisimman suuren alan. H:lla on kaksi vaihtoehtoa:

  1. H. voi rakentaa sellaisen aitauksen, jossa ladon yksi seinä on osa suorakulmion sivua. Sivua voi kuten kuvassa jatkaa ladon seinästä molempiin suuntiin.
  2. H. voi rakentaa aitauksen, jossa yksi sivu kulkee ladon kahden nurkan kautta ladon pohjan lävistäjän suuntaisesti. Myös tässä diagonaalin suuntainen sivu voi olla vaikka kuinka paljon pidempi kuin itse diagonaali. Osa ladosta jää nyt aitauksen sisälle ja näin pienentää kokonaisalaa.

H:lla on aitatarpeita A metriä ja ladon seinän pituus on a metriä. Minkälainen suhde H:n kannattaa valita aitauksen pituudelle ja leveydelle? Kumpaa rakennusvaihtoehtoa H:n kannattaa käyttää? Riippuuko se aitatarpeiden määrästä A? Yksinkertaisuuden vuoksi1 rajataan tilanne niin, että A>3\sqrt{2}a.

Kuva: Neal Wellons/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Neal Wellons/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

0

Suunnikkaat solmussa

suunnikaspulma Suunnikkaan ABCD kärki B on suunnikkaan AEFG sivulla EF ja suunnikkaan AEFG kärki G on suunnikkaan ABCD sivulla CD. Suunnikkaan ABCD ala on 20. Laske suunnikkaan AEFG ala.


Ratkaisu: suunnikaspulmaratkaisuTutkitaan kolmiota ABG. Sillä on sama kanta ja korkeus kuin suunnikkalla ABCD, joten sen ala on puolet suunnikkaan alasta. Mutta toisaalta kolmiolla on sama kanta ja korkeus kuin suunnikkaalla AEFG, joten sen ala on puolet myös siitä. Näin ollen suunnikkailla on pakko olla sama ala.

0

Neliön kolmijako

Neliön yhdestä kärjestä vedetään kaksi kuvan mukaista janaa, jotka jakavat neliön kolmeen yhtä suureen osaan. Missä suhteessa janat jakavat neliön sivut?Näyttökuva 2015-11-5 kello 19.25.34


 

Ratkaisu: Sivujen jakosuhde on 2:1. Tämä on helppo huomata esimerkiksi piirtämällä neliölle lävistäjä samasta kärjestä, josta janat lähtevät. Nyt muodostuvien symmetristen kolmioiden alojen suhteen on selvästi oltava 2:1, jotta alkuperäisten janojen erottama nelikulmio olisi kolmannes koko neliön alasta. Koska kolmioilla on sama korkeusjana (neliön sivu), on alojen suhde välttämättä kannan jakosuhde.

Näyttökuva 2015-11-5 kello 19.27.07