Pillinvääntöä

Taitetaan mehupilli kahdesta sattumanvaraisesta kohdasta. Millä todennäköisyydellä taitoksista saadaan kolmio?

Kuva: Petter Duvander/Flickr (CC BY-NC 2.0)


Ratkaisu: Kolmioepäyhtälön mukaan kolmio syntyy, mikäli yksikään paloista ei ole pidempi kuin kahden muun summa. Jos sovitaan, että pillin pituus on 1, tämä tarkoittaa sitä, että kunkin kolmesta osasta pitää olla lyhyempi kuin \frac{1}{2}.

Sovitaan, että taitoskohdat ovat x ja y, missä 0<x<1 ja 0<y<1. Kolmio muodostuu jommalla kummalla seuraavista ehdoista:

  1. x<y; x<\frac{1}{2}; y-x<\frac{1}{2}; 1-y<\frac{1}{2} tai
  2. y<x; y<\frac{1}{2}; x-y<\frac{1}{2}; 1-x<\frac{1}{2}.

Oheisessa kuvassa on ensimmäisen ehdon ratkaisualue on sinertävänä ja jälkimmäisen ehdon ratkaisualue vaaleanpunaisena. Kumpikin näistä on kooltaan \frac{1}{8} koko neliöstä, joten kolmio muodostuu todennäköisyydellä \frac{1}{4}.

Tämän pulman lähde on Matthew Scroggsin pulmasivu.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *