Nelikulmion lävistäjä

Opiskelijani Timo Hartikainen oli taannoin törmännyt Päivölän opistossa Suomen matemaattisen yhdistyksen olympiavalmennuksessa kiinnostavaan ongelmaan. Tehtävänanto kuuluu seuraavasti:

Nelikulmiossa ABCD kulma \angle A=102^{\circ}, kulma \angle C=129^{\circ} ja sivut |AD|=|AB|=1. Laske lävistäjän AC pituus.


Ratkaisu: Pulman ratkaisu perustuu jännenelikulmioon, eli nelikulmioon, jonka kärjet ovat ympyrän kehällä. Nyt alkuperäinen nelikulmiomme ABCD ei ole jännenelikulmio, sillä jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina 180^{\circ}. Sen sijaan jos täydennämme kuvaa niin, että mukaan tulee kärki E, jossa on 51^{\circ} kulma, tilanne muuttuu. Nyt koska 51^{\circ}=\frac{102^{\circ}}{2}, ja koska ympyrän keskuskulma on kaksinkertainen samaa kaarta vastaavaan kehäkulmaan verrattuna, on A keskipiste ympyrälle, jonka sisään piirretty jännenelikulmio EBCD on. Koska |AB|=|AD|=1, on myös AC=1, sillä sekin on ympyrän säde.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *