Hyvä ja huono pelaaja

Tehtävänäsi on pelata kolme erää squashia ja voittaa niistä kaksi peräkkäin. Vastaasi asettuu vuoron perään hyvä pelaaja ja kehno pelaaja. Kumpi vastustajista sinun kannattaa kohdata ensin? Eli kannattaako sinun pelata erät järjestyksessä hyvä–kehno–hyvä vai kehno–hyvä–kehno?

Kuva: jamesdaniel4792 / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: jamesdaniel4792 / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)


Ratkaisu: Parempi järjestys on hyvä–kehno–hyvä. Ratkaisua voidaan lähestyä ainakin kahdella tavalla. Ensinnäkin, koska tehtävänäsi on voittaa kaksi peräkkäistä erää, on sinun välttämättä voitettava eristä keskimmäinen. Sen voittotodennäköisyys kannattaa maksimoida, joten kehno pelaaja kannattaa kohdata nimenomaan silloin.

Ratkaisu voidaan toki osoittaa oikeaksi myös matemaattisesti. Olkoon todennäköisyys sille, että voitat hyvän pelaajan h, ja kehnon pelaajan voittamiselle k. Nyt tietenkin 0<h<k<1, eli hyvän pelaajan voittaminen on epätodennäköisempää kuin kehnon. Näillä merkinnöillä häviät hyvälle pelaajalle todennäköisyydellä 1-h ja kehnolle todennäköisyydellä 1-k. Oletetaan, että peräkkäisten erien voittotodennäköisyydet eivät riipu toisistaan.

Erilaisia tapoja voittaa kaksi erää peräkkäin on kolme:

  1. voitto, voitto, voitto
  2. voitto, voitto, tappio
  3. tappio, voitto, voitto

Nämä ovat erillisiä, riippumattomia tapauksia, joten yhden tapauksen todennäköisyys saadaan tulon avulla ja kokonaistodennäköisyys laskemalla yksittäisten todennäköisyyksien summa. Tutkitaan ensin järjestys hyvä–kehno–hyvä. Tästä saadaan todennäköisyys

    \[hkh+hk(1-h)+(1-h)kh=hk(2-h).\]

Vastaavasti järjestykselle kehno–hyvä–kehno saadaan todennäköisyys

    \[khk+kh(1-k)+(1-k)hk=hk(2-k).\]

Koska h<k, niin 2-h>2-k, joten hk(2-h)>hk(2-k).

Tämäkin ongelma tuli vastaan Alex Bellosin pulmapalstan kautta. Bellos kreditoi pulman lähteeksi Frederick Mostellerin kirjan Fifty Challenging Problems in Statistics with Solutions. Tämä pulmablogiharrastus alkaa käydä kukkarolleni, sillä Mostellerin kirjan lisäksi nettikirjakaupasta tarttui (taas kerran) mukaan muutama muukin alan teos. Niistä luultavasti tuonnempana lisää.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *