Funikulaari

Ystäväpiirissäni on useita, joiden mielestä funikulaari eli kiskoköysirata on yleensä vierailemisen arvoinen kohde, mikäli matkalla sellainen vastaan sattuu. Perusideahan on, että funikulaarissa on kaksi vaunua, joista toisen matkatessa ylös toinen tulee samaan aikaan alas. Jännimmissä funikulaareissa on vain yksi raide paitsi radan puolessavälissä, jossa vaunujen ohituspaikkaan on tehty pieni pätkä kaksiraiteista rataa. Mutta asiaan.

Kössi oli reissussa ja osui erityisen pitkän funikulaarin luo. Yhdensuuntainen matka-aika radalla oli peräti 15 minuuttia. Kössi lähti jalkapatikassa ala-asemalta kipuamaan kohti yläasemaa samaan aikaan kun vaunu lähti liikkeelle1. Kössi oli selvästi hitaampi kuin funikulaari. Vastaantuleva vaunu ohitti Kössin 12,5 minuutin kuluttua liikkeellelähdön jälkeen. Viikon helpot kysymykset ovat, koska jompi kumpi vaunu ohittaa Kössin seuraavan kerran ja kumpaan suuntaan vaunu on silloin menossa. (Oletetaan tehtävän vuoksi, että vaunut lähtevät ylä- ja ala-asemilta liikkeelle välittömästi sinne päästyään. Oletetaan myös, että sekä vaunut että Kössi liikkuvat tasaisella nopeudella.)

Kuva: Mark Fischer/Flickr (CC BY-SA 2.0)


Ratkaisu: Tämä pulma on versioitu Lewis Carrollin teoksessa A Tangled Tale (1885) olleesta ongelmasta.

Koska kohtaaminen tapahtuu 12 ja puolen minuutin jälkeen, on funikulaarin nopeus viisinkertainen Kössin nopeuteen verrattuna. Lasketaan ensin, koska tämä vastaantuleva vaunu ohittaa Kössin seuraavan kerran, ja todetaan sitten, että yläasemalta tuleva vaunu ei vielä silloin ole tullut vastaan.

Olkoon funikulaariradan koko pituus a ja olkoon kohta, jossa Kössi ja alhaalta tuleva vaunu kohtaavat seuraavan kerran, etäisyydellä b ala-asemalta. Olkoon t ajanhetki, jolloin kohtaaminen tapahtuu. Merkitään nyt Kössin nopeutta v_k=\frac{b}{t} ja funikulaarin nopeutta v_f=\frac{a+b}{t}. Funikulaari kulkee siis ensin koko radan ja sitten vielä matkan b rinnettä ylöspäin. Koska funikulaarin nopeus on viisinkertainen, saadaan yhtälö

    \[\frac{a+b}{t}=5\cdot\frac{b}{t},\]

josta t pois kertomalla saadaan, että

    \[b=\frac{1}{4}a.\]

Tästä voidaan päätellä, että kohtaaminen tapahtuu, kun aikaa on tarkastelun alusta kulunut koko radan kesto eli 15 minuuttia sekä neljäsosa noususta, eli 3 minuuttia ja 45 sekuntia. Näin ollen ensimmäisestä sivuutuksesta toiseen kuluu tämä 3 minuuttia ja 45 sekuntia sekä 2 ja puoli minuuttia, joka oli jäljellä ensimmäisestä radan mitasta. Siis yhteensä aikaa kuluu 6 minuuttia ja 15 sekuntia.

Koska seuraava kohtaaminen tapahtuu ennen radan puoltaväliä, on Kössin ohittava vaunu tulossa ala-asemalta.

  1. Oikeasti Kössi valitsisi tietenkin matkustuksen funikulaarilla – ei siksi, etteikö hän jaksaisi nousta rinnettä, vaan siksi, että funikulaarilla matkaaminen on yksinkertaisesti kivaa!

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *