Keskinopea juna

Tavarajuna ajaa pysähtymättä 800 kilometriä täsmälleen 80 kilometrin keskituntinopeudella. Sen nopeus ei kuitenkaan pysy matkan varrella vakiona. Osoita, että juna ajaa jonkin 80 kilometrin mittaisen pätkän matkastaan täsmälleen yhdessä tunnissa.

Tämä ongelma on jälleen Martin Gardneria parhaimmillaan, alkujaan Scientific American -lehden joulukuun 1979 numerosta.

Kuva: Henk Sijgers/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Kuva: Henk Sijgers/Flickr (CC BY-NC 2.0)


Ratkaisu: Jaetaan matka-aika kymmeneen tunnin mittaiseen pätkään. Jos juna kulkee jonkin näistä aikana täsmälleen 80 kilometriä, on ongelma ratkaistu. Jos taas yhdessäkään näistä juna ei kulje täsmälleen 80 kilometriä, valitaan kaksi peräkkäistä pätkää, joista toisen aikana matkataan hieman yli ja toisen aikana hieman alle 80 kilometriä — kuinka päin, sillä ei ole väliä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että ensimmäisellä pätkällä keskinopeus oli jonkin verran alle 80 km/h.

Kuvitellaan nyt, että meillä on tunnin mittainen aikajanatikku. Asetetaan se ensin ensimmäisen pätkän alkuun ja aletaan sitten liikuttaa sitä kohti jälkimmäisen pätkän loppua. Aikajanatikun osoittamana aikana kuljettu matka on aluksi alle 80 kilometriä ja lopuksi yli 80 kilometriä. Koska muutos on jatkuva, osuu johonkin kohtaan alku- ja loppupisteiden välille tasan tunnin mittainen pätkä, jonka aikana juna kulkee täsmälleen 80 kilometriä.

Pulmasta tekemäni Geogebra-appletti on saatavilla vapaasti Geogebratubessa. Ongelmaa vastaava kuvaaja on piirretty aika–matka-koordinaatistoon, jossa kunkin aikavälin keskinopeuden saa sekantin kulmakertoimena.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *