Kaksi jokilaivaa – ratkaisu

Kaksi jokilaivaa lähtee samaan aikaan joen vastakkaisilta rannoilta tasaisella nopeudella suoraviivaisesti kohti vastarantaa; toinen laivoista on nopeampi. Kun laivat kohtaavat, on lähempi ranta 720 metrin päässä. Molemmat laivat pysähtyvät rannalle kymmeneksi minuutiksi, ja kun ne kohtaavat seuraavan kerran, ovat ne 400 metrin päässä toisesta rannasta. Kuinka leveä joki on?Kaksi jokilaivaa

Olkoon joen leveys x metriä. Kumpikin laiva pysähtyy kymmeneksi minuutiksi, joten tällä ei ole merkitystä ratkaisun kannalta. Voidaan keskittyä pelkästään joella kulutettuun aikaan. Koska laivat kulkevat tasaisella nopeudella, ovat kuljettu matka ja käytetty aika suoraan verrannolliset. Tämä johtaa pariin melko yksinkertaiseen ratkaisumalliin.

Ensinnäkin, kun laivat kohtaavat ensimmäisen kerran, ovat ne taittaneet matkaa yhteensä x metriä. Toisen kohtaamisen hetkellä matkaa on taitettu puolestaan 3x metriä (molemmat laivat kertaallen koko välin ja vajaan toisen välin), joten kulutettu aikakin on kolminkertainen. Nopeamman laivan kulkemaa matkaa tutkimalla tästä saadaan yhtälö

    \[3(x-720)=2x-400,\]

jonka ratkaisu x=1760 (metriä) on joen leveys.

Toisaalta matkan ja käytetyn ajan verrannollisuus johtaa myös laivojen kulkemista matkoista laadittuun verrantoyhtälöön 

    \[\frac{x-720}{720}=\frac{2x-400}{x+400},\]

 josta nimittäjät pois kertomalla ja termejä järjestelemällä saadaan x^2-1760x=0. Tämän yhtälön positiivinen juuri on tietenkin sama x=1760.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *