riippumattomuus

0

Kaksi tuomioistuinta

|

Kuvitellaan kaksi tuomioistuinta. Ensimmäisessä tuomioistuimessa istuu kolme tuomaria, joista kaksi osaa toisistaan riippumatta tehdä oikeudenmukaisen ratkaisun päätöksissään todennäköisyydellä p. Kolmas tuomari heittää päätöksensä aina kolikolla. Ratkaisu saadaan enemmistöpäätöksellä. Toinen tuomioistuin koostuu vain yhdestä tuomarista, joka osaa tehdä oikean päätöksen todennäköisyydellä p. Kumpi tuomioistuin antaa todennäköisemmin oikean tuomion?

Kuva: Brisan / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Brisan / Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Ratkaisu: Molemmat tuomioistuimet ovat yhtä hyviä. Ensimmäisessä tuomioistuimessa on kolme mahdollista tapausta, joissa ratkaisu on oikeudenmukainen:

  1. Ensimmäinen ja toinen tuomari osuvat oikeaan. Tällöin lantinheittäjätuomarin ratkaisulla ei ole väliä. Todennäköisyys tälle on riippumattomuuden nojalla p\cdot p=p^2.
  2. Ensimmäinen on oikeassa, toinen väärässä ja lantinheittäjä oikeassa. Todennäköisyys tälle on p(1-p)\cdot\frac{1}{2}=\frac{p}{2}-\frac{p^2}{2}.
  3. Ensimmäinen erehtyy, toinen on oikeassa ja lantinheittäjä on oikeassa. Tämänkin todennäköisyys on \frac{p}{2}-\frac{p^2}{2}.

Koska tapaukset ovat erillisiä, on tuomioistuimen onnistumistodennäköisyys näiden kolmen tapauksen todennäköisyyksien summa, eli

    \[p^2+\left(\frac{p}{2}-\frac{p^2}{2}\right)+\left(\frac{p}{2}-\frac{p^2}{2}\right)=p.\]

Tämä pulma on Frederick Mostellerin kirjasta Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions (Dover Publications, 1965).