Ystäväni Tuomas Salo törmäsi Moskovan-vierailullaan viime vuosituhannen lopulla seuraavaan oivallisen kauniiseen pulmaan.

Valitaan mielivaltaisesti piste  positiiviselta -akselilta väliltä  ja piste  positiiviselta -akselilta väliltä . Valitaan piste  mistä tahansa origokeskisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion  piiri on enemmän kuin .

Ellet muuten usko, voit liikutella pisteitä oheisessa Geogebra-appletissa. Jos appletti ei näy tässä, voit leikkiä sillä Geogebratubessakin.

[advanced_iframe securitykey=”2b1ba94560c21eedb7035dc0cdad224ebb2328fa” src=”https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/1950607/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto” width=”600px” height=”503px” style=”border:0px;”  style=”border:0px;”]

Ratkaisu: Tämän ongelman voinee ratkaista algebrallakin – Pythagoraan lausetta ja muutamia luotaantyöntäviä yhtälöitä ja niin edelleen. Seuraava ratkaisu on kuitenkin kauneudessaan ilmiömäinen ja, mikä tärkeintä, täysin riittävä.

Peilataan piste – ja -akseleiden suhteen pisteiksi ja .Nyt symmetrian nojalla janat ja ovat keskenään yhtä pitkät, samoin janat ja . Näin ollen kolmion piiri on sama kuin murtoviivan pituus. Koska on ympyrän halkaisija, ja siis pituudeltaan , on kysytty piiri selvästi tätä pidempi.