lapset

0

Ruuhkavuodet

|

Olen ilokseni kuullut, että Pulmakulmalla on ystäviä myös etelässä. Tämä seuraava pulma on saatu fanifiktiona, ja koska se perustunee tositapahtumiin, suojeltakoon lähdettä ainakin vähän.

No niin. Stefanilla on kolme lasta. Lasten kanssa kävellään päiväkodin ja koulun väliä viitenä päivänä viikossa. Lapsi A kiukuttelee keskimäärin 1/5 matkoista, lapsi B 3/5 matkoista ja lapsi C 4/5 matkoista. Mikä on todennäköisyys, että viikossa olisi edes yksi päivä, jolloin kukaan lapsista ei kiukuttele?

Ratkaisu: Ratkaistaan ongelma käyttämällä yleistä kertolaskusääntöä, komplementtisääntöä sekä binomitodennäköisyyttä. Tilannehan voidaan tulkita toistokokeeksi, jossa toistetaan yhden päivän käyttäytymistä viisi kertaa.

Oletetaan, että lasten kiukuttelualttiudet ovat toisistaan riippumattomia. Näin ollen yhteen suuntaan todennäköisyys sille, että kukaan ei kiukuttele on

    \[\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{8}{125}.\]

Päivässä kuljetaan kaksi matkaa, joten todennäköisyys sille, että kukaan ei kiukuttele yksittäisenä päivänä on

    \[\left(\frac{8}{125}\right)^2=0,00496.\]

Siis todennäköisyys sille, että ainakin joku kiukuttelee yksittäisenä päivänä on 1-0,004096=0,995904.

No, ei tilanne ole kuitenkaan ihan näin synkkä, sillä viikossa päiviä on viisi. Voidaan ajatella päivien toistuvan aina samanlaisina (eli toistot ovat toisistaan riippumattomia), jolloin binomitodennäköisyyttä hyödyntäen voidaan laskea todennäköisyys sille, että ainakin yhtenä päivänä kukaan ei kiukuttele. Siis P(\mbox{ainakin kerta ilman kiukkua})=1-P(\mbox{joku kiukuttelee aina}), eli

    \[1-0,995904^5=0,02031\ldots\approx2,0\%.\]

1

Nimekäs lapsi

|

Herra H. tapasi kadulla entisen luokkatoverinsa, joka työnsi lastenvaunuja. He eivät olleet kohdanneet kertaakaan miltei 20 vuoteen. He kertoilivat kuulumisia tovin. Luokkatoveri oli oleskellut lähinnä Saksassa ja hänellä oli saksalainen puolisokin. H. kysyi, mikä oli heidän pienen tyttärensä nimi. Toveri kertoi heidän nimenneen tytön äitinsä mukaan. ”Hei, Laura!” H. sanoi vaunussa hymyilevälle tyttöselle. Miten H. tiesi hänen nimensä, vaikka ei tuntenut luokkatoverin puolisoa?

Ratkaisu: H:n luokkatoverin nimi oli Laura, joten tytönkin nimi oli Laura.

0

Väestönlaskija ja lapset

|

Paikkakunnalla oli menossa väestönlaskenta, ja väestönlaskija H. keräsi tietoja kätevästi ovelta ovelle kulkemalla. Eräällä ovella H. kysyi perheenisä S:ltä, kuinka monta vuotta (ei siis kuukausia, vaan täysiä vuosia) vanhoja hänen kolme lastaan olivat. Perheenisä tunnisti H:n kuuluisaksi pulmaspesialistiksi, joten hän päätti hieman kokeilla H:ta.

”Lasten ikien tulo on 36 ja summa tuon vastapäisen talon numero”, S. vastasi pilke silmäkulmassaan. H. kävi katsomassa, mikä vastapäisen talon numero oli, ja palasi takaisin perheenisän luo. ”Olen pahoillani, mutta tarvitsen hieman lisätietoja”, H. sanoi. ”En ehdi nyt, puuro kiehuu yli ja vanhin lapsi on yläkerrassa nukkumassa”, vastasi perheenisä. ”Kiitos, mutta kyllähän tässä jo on kylliksi”, totesi lisätiedoista ilahtunut H.

Viikon helppo (no, hyvä on – helpohko) kysymys on, kuinka vanhoja lapset olivat ja mikä oli vastapäisen talon numero.

Kuva: Kathleen Conklin/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Kathleen Conklin/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Luvun 36 voi esittää seitsemällä tavalla kolmen luonnollisen luvun tulona, mutta vain kahdessa tapauksessa tulon tekijöillä on sama summa: 9+2+2=13 ja 6+6+1=13. Koska vanhin lapsi nukkuu yläkerrassa, ovat lasten iät siis 9, 2 ja 2 ja vastapäisen talon numero on 13. (Kaksoset lasketaan siis saman ikäisiksi, vaikka teknisesti heillä varmaankin on jopa useita minuutteja ikäeroa.)