Viikon vaikea

0

Ikä on vain numero

|

Koska maailma tuntuu siirtyneen faktojen jälkeiseen aikaan, myös täällä Pulmakulmassa lienee tarpeen venyttää totuuden rajoja. Osoitetaan matemaattista induktiota käyttäen, että kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä.

Matemaattisessa induktioperiaatteessahan on kyse siitä, että jos voidaan osoittaa, että

  1. jokin luonnollisia lukuja tai jotain sen osajoukkoa koskeva väittämä pätee pienimmälle tarkasteltavalle luvulle, ja että
  2. väitteen totuudesta luvulle k seuraa väitteen totuus luvulle k+1,

niin tällöin väite pätee kaikille tarkasteltaville luvuille. Induktioperiaatteen hyvä havainnollistus löytyy esimerkiksi tästä.

No niin, sitten asiaan. Osoitetaan ensin, että yhden ihmisen joukossa kaikki ovat keskenään samanikäisiä. Tämä on tietenkin triviaalisti totta.

Tehdään seuraavaksi induktio-oletus, että k suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Riittää osoittaa, että tästä seuraa se, että sattumanvaraisten k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Tämä voidaan todistaa osoittamalla, että tämän joukon sattumanvaraiset henkilöt H ja S ovat samanikäisiä.

Poistetaan ensin k+1 suomalaisen joukosta henkilö H. Nyt jäljelle jääneet kaikki k suomalaista ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis S on samanikäinen kaikkien muiden kanssa, esimerkiksi henkilön M kanssa. Poistetaan seuraavaksi alkuperäisestä k+1 suomalaisen joukosta henkilö S. Nyt jäljelle jääneet k henkilöä ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis esimerkiksi H ja M ovat nyt samanikäisiä.

Mutta nythän toisaalta S ja M ovat samanikäisiä ja toisaalta H ja M ovat samanikäisiä, joten välttämättä H ja S ovat samanikäisiä. Olemme siis onnistuneet osoittamaan, että k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Induktioperiaatteen mukaan kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä!

No, tuota. Oikeasti minä en ole samanikäinen veljeni kanssa. Viikon vaikea pulma on selvittää, mikä meni pieleen. Onko matematiikka rikki?

Ratkaisu: Matematiikka ei onneksi ole rikki, vaan todistuksessa on ihan oikea virhe. Henkilöistä S ja H poikkeavan henkilön M olemassaoloa ei voida olettaa. Jotta näin voitaisiin tehdä, olisi pitänyt pystyä osoittamaan, että kaikissa kahden henkilön joukoissa on vain samanikäisiä. Ja tämähän ei tietenkään onnistu.

0

Liukukäytävä

|
Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: quantum bunny/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Varsinkin suurilla ulkomaisilla lentoasemilla ja metroasemilla on käytössä liukukäytäviä siirtymien helpottamiseksi. Olenkin miettinyt, miksi näitä henkilökuljettimia oikein kutsutaan, ja ilmeisesti juuri liukukäytävä on virallinen suomenkielinen nimitys. Englanniksi vekottimella on hauskemmalta kalskahtava nimitys, travelator.

Mutta asiaan. Matematiikan arvostetuimmalla palkinnolla, Fieldsin mitalilla, vuonna 2006 palkittu australialaismatemaatikko Terence Tao on esittänyt seuraavan pulman:

Matkalla turvatarkastuksesta portille on sekä tavallista lattiaa että liukukäytäviä. Lattialla H. kävelee nopeudella v ja liukukäytävä liikkuu nopeudella u (jolloin H. voi halutessaan siis edetä liukukäytävällä nopeudella v+u). H:n täytyy pysähtyä matkalla solmimaan kengännauhansa, johon kuluu tietty vakioaika. Jos portille pitää päästä mahdollisimman nopeasti, kannattaako kengännauhat solmia lattialla, liukukäytävällä vai onko sillä mitään väliä?

Ratkaisu: Nauhat kannattaa solmia liukukäytävällä. Pulma voidaan ratkaista tietysti täysin matemaattisesti nopeuden, matkan ja ajan yhdistävää yhtälöä v=\displaystyle\frac{s}{t} hyödyntäen. Ei kuitenkaan mennä nyt ihan yksityiskohtiin, vaan tyydytään Alex Bellosin hienoon havainnollistukseen.

Oletetaan, että matkalla turvatarkastuksesta portille on ensin vain lattiaa ja sitten vain liukukäytävää. Sovitaan, että H. ja S. lähtevät yhtä aikaa kävelemään samalla nopeudella turvatarkastuksesta. Juuri ennen liukukäytävän alkua S. ryhtyy solmimaan kengännauhojaan. H. astuu vielä askeleen ja alkaa solmia nauhojaan liukukäytävän päällä. He ovat valmiit kenkiensä kanssa oleellisesti samaan aikaan, jonka jälkeen he jatkavat samalla nopeudella pitkin liukukäytävää. H. on kuitenkin ehättänyt jo edelle, eikä S. voi enää saada häntä kiinni.

0

Auringonpimennys

|

Seuraava pulma löytyi Greg Rossin mainiolta Futility Closet -sivustolta. Ross oli puolestaan löytänyt A. Kozlovin alkuperäisen pulman venäläisestä Kvant-lehdestä. Asiaan.

H. katselee lapsensa kanssa täydellistä auringonpimennystä. Lapsi kysyy H:lta, kuinka moninkertainen auringon etäisyys maasta on verrattuna kuun etäisyyteen. H. aprikoi hetken ja muistelee, että aurinko on noin 387 kertaa kauempana maasta kuin kuu. H:n lapsi, älykäs nuorukainen, pohtii hetken ja sanoo, että sittenhän hän osaa laskea, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. H. sanoo lapselle, että hän on oikeassa.

Viikon helppo pulma on selvittää, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna. Viikon vaikea pulma on laskea se ilman laskinta.

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Yutaka Tsunano/Flickr (CC BY 2.0)

Ratkaisu: Koska täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää auringon melko lailla tarkalleen, voidaan ajatella ne ovat yhdenmuotoiset kappaleet. Näin olleen niiden tilavuudet ovat verrannolliset etäisyyksien kuutioon, joten auringon tilavuus on 387^3-kertainen kuun tilavuuteen verrattuna.

Tässä viikon helppo. Viikon hieman haastavampi pulma oli laskea luku 387^3 ilman laskimen apua. Onnistuitko? Minä onnistuin.

Ensinnäkin 387^3=(400-13)^3, josta Pascalin kolmion avulla saadaan

    \[387^3=400^3-3\cdot 400^2\cdot 13+3\cdot 400\cdot 13^2-13^3.\]

Nyt

  • 400^3=64000000
  • 3\cdot 400^2\cdot 13=480000\cdot 13=4800000+3\cdot 480000=6240000
  • 13^3=(10+3)^3=1000+900+270+27=2197
  • 3\cdot 400\cdot 13^2=12\cdot 13^2\cdot 100=(2197-169)\cdot 100=202800

Siis

    \[387^3=64000000-6240000+202800-2197=57960603.\]

No, oliko tämän laskemisesta ilman laskinta mitään hyötyä? Ehkei, mutta sainpa ainakin itse aikani kulumaan uusintakokeita eräänä iltana koulullamme valvoessani.

0

Oi aitoja, oi latoja!

|

Matemaattisesti suuntautuneella maanviljelijä H:lla on ongelma. Hänellä on iso pelto ja sen keskellä neliöpohjainen lato. Hän haluaa rakentaa ladon luo suorakulmion muotoisen aitauksen, joka rajaa mahdollisimman suuren alan. H:lla on kaksi vaihtoehtoa:

  1. H. voi rakentaa sellaisen aitauksen, jossa ladon yksi seinä on osa suorakulmion sivua. Sivua voi kuten kuvassa jatkaa ladon seinästä molempiin suuntiin.
  2. H. voi rakentaa aitauksen, jossa yksi sivu kulkee ladon kahden nurkan kautta ladon pohjan lävistäjän suuntaisesti. Myös tässä diagonaalin suuntainen sivu voi olla vaikka kuinka paljon pidempi kuin itse diagonaali. Osa ladosta jää nyt aitauksen sisälle ja näin pienentää kokonaisalaa.

H:lla on aitatarpeita A metriä ja ladon seinän pituus on a metriä. Minkälainen suhde H:n kannattaa valita aitauksen pituudelle ja leveydelle? Kumpaa rakennusvaihtoehtoa H:n kannattaa käyttää? Riippuuko se aitatarpeiden määrästä A? Yksinkertaisuuden vuoksi1 rajataan tilanne niin, että A>3\sqrt{2}a.

Kuva: Neal Wellons/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

Kuva: Neal Wellons/Flickr (CC BY-NC-ND 2.0)

0

Monivalintakysymys

|

Jos vastaat tähän kysymykseen sattumanvaraisesti, millä todennäköisyydellä vastaat oikein?

  1. 25 %
  2. 50 %
  3. 60 %
  4. 25 %

Tämä kysymys on kierrellyt jo jonkin aikaa ympäri nettiä. Kiitos kontribuutiosta, Mikko Saari!

Ratkaisu: Pulmaa ei tietenkään voida ratkaista sen itseensä viittaavan luonteen vuoksi. Toisin sanoen pulma ei ole hyvin määritelty. Se ei tietenkään tarkoita sitä, etteikö se olisi hauska. Juuri tällaisista paradokseista ja kielivitseistä minä olen pitänyt koko ikäni. Lisää tästä teemasta löytyy esimerkiksi Alexander Bogomolnyn mainiolta Cut the Knot -sivustolta.

0

Hullun loogikon vangit

|

Petri ja Eemil joutuivat hullun loogikon vangeiksi. Heidät suljettaisiin tuota pikaa selleihin, ja kummallekin annettaisiin ainoastaan virheetön kolikko. Heidän molempien pitäisi heittää tunnin ajan kerran minuutissa kolikkoa, siis yhteensä 60 kertaa. Kunkin heiton jälkeen he joutuisivat veikkamaan, saiko toinen herroista kruunan vai klaavan. Ja jos edes kerran molemmat olisivat yhtä aikaa oikeassa veikkauksessaan, hullu loogikko tappaisi heidät molemmat!

Ennen lopullista selleihin lukitsemista Petri ja Eemil saisivat keskustella keskenään vielä kymmenen minuutin ajan, mutta selleihin päädyttyään heillä ei olisi minkäänlaisia mahdollisuuksia kommunikoida keskenään. Oman kolikkonsa he toki näkisivät.

Viikon vaikea pulma on yrittää pelastaa Petrin ja Eemilin henki.

Kuva: Tom Blackwell/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Kuva: Tom Blackwell/Flickr (CC BY-NC 2.0)

Ratkaisu: Petri ja Eemil voivat pelastua hyvin yksinkertaisella tempulla. Jos Petri veikkaa Eemilille aina samaa tulosta kuin oma heittonsa ja Eemil puolestaan vastakkaista Petrille, saavat he jokaisella heittokerralla täsmälleen yhden oikean arvauksen. Mahdollisia tapauksia on vain neljä, ja ne ovat tässä:

  1. Petri saa kruunan, veikkaa kruunaa. Eemil saa kruunan, veikkaa klaavaa. Petri on oikeassa, Eemil väärässä.
  2. Petri saa kruunan, veikkaa kruunaa. Eemil saa klaavan, veikkaa kruunaa. Petri on väärässä, Eemil oikeassa.
  3. Petri saa klaavan, veikkaa klavaa. Eemil saa kruunan, veikkaa klaavaa. Petri on väärässä, Eemil oikeassa.
  4. Petri saa klaavan, veikkaa klaavaa. Eemil saa klaavan, veikkaa kruunaa. Petri on oikeassa, Eemil väärässä.

Tämä pulma oli Alex Bellosin Monday Puzzle -palstalta The Guardianista.

0

Katkaistu keppi

|

Keppi katkaistaan sattumanvaraisesta kohdasta. Viikon helppo pulma on, kuinka suuri osa koko kepistä lyhyempi pala keskimäärin on. Tämän ratkaistuasi voit siirtyä viikon vaikeaan pulmaan: mikä on kepin lyhyemmän ja pidemmän osan pituuksien keskimääräinen suhde?

Ratkaisu: Sattumanvarainen katkaiseminen tarkoittaa sitä, että kepin jokainen kohta on yhtä todennäköinen katkeamiskohta. Katkeamiskohta on yhtä todennäköisesti kepin puolivälin vasemmalla ja oikealla puolella. Se katkeaa keskimäärin tämän puolikkaan keskeltä, joten sen keskimääräinen pituus on \frac{1}{4} koko kepin pituudesta.

Tutkitaan sitten osien pituuksien suhdetta. Yleisyydestä poikkeamatta voidaan olettaa kepin pituudeksi 1 yksikkö. Olkoon  katkeamiskohta kepin loppupäässä ja olkoon pidemmän palan pituus x. Lyhyempi pala on nyt siis 1-x ja näin ollen kysytyksi suhteeksi saadaan

    \[2\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{1-x}{x} dx=2\ln 2-1\approx 0,386.\]

Tämä pulma oli Frederick Mostellerin kirjasta Fifty Challenging Problems in Probability.

0

Ykkösiä, ei neliöitä

|

Osoita, ettei yksikään jonon 11, 111, 1111, 11111,\ldots jäsen ole kokonaisluvun neliö.

Ratkaisu: Jonon 11, 111, 1111, 11111,\ldots jokainen luku voidaan kirjoittaa muodossa 100m+11=4(25m+2)+3, jossa m on kokonaisluku. Näin ollen aina, kun jotain jonon luvuista jaetaan 4:llä, jakojäännökseksi jää 3.

Parilliset kokonaisluvut voidaan esittää muodossa 2n, jossa n on kokonaisluku. Näin ollen parillisten kokonaislukujen neliöt voidaan esittää muodossa (2n)^2=4n^2, eli parillisten lukujen neliöitä 4:llä jaettaessa jako menee aina tasan. Vastaavasti parittomat luvut voidaan esittää muodossa (2n+1), jolloin niiden neliöt voidaan esittää muodossa 4n^2+4n+1. Parittomien lukujen neliöitä 4:llä jaettaessa jakojäännös on siis aina 1. Siis mikään jonon  11, 111, 1111, 11111,\ldots luvuista ei voi olla kokonaisluvun neliö.

Tämä pulma on Stanfordin yliopiston matematiikkakilpailusta vuodelta 1949.

0

Rahanjako pyöreässä pöydässä

|

Pyöreän pöydän ritarit, tällä kerralla vain kymmenen ritaria, istuu kuten todettua pyöreän pöydän äärellä. Heillä on jaettavanaan 10 thrymsan rahasumma, joka tulee jakaa seuraavalla säännöllä: jokainen ritari saa puolet summasta, jonka hänen molemmat naapurinsa saavat yhteensä.

Viikon vaikea pulma on osoittaa oikeaksi tai vääräksi se väittämä, että rahasumma voidaan tällä säännöllä jakaa useammalla kuin yhdellä tavalla.

(Tehtävän kannalta ei ole väliä sillä, miten tai millaisiksi murto-osiksi lantit jaetaan. Näin siis vaikkapa 1,3546 thrymsaa on ihan järkevä jako-osa.)

Kuva: Matt Brown / Flickr (CC BY 2.0)

Kuva: Matt Brown / Flickr (CC BY 2.0)

0

Sinne ja takaisin

|

Sinnikkäät seikkailijat Johannes ja Toni patikoivat melko kaukaiselle vuorelle. Noustuaan vuoren laelle he palaavat omia jälkiään takaisin. Kaikkiaan herrojen reissuun menee kuusi päivää. Kiireettä fiilistellen he tallustelevat tasamaalla  neljän virstan päivänopeudella. Ylämäessä tahti hidastuu kolmeen virstaan päivässä, mutta alamäkeen he kulkevat kuusi virstaa päivässä. Kuinka pitkän matkan Johannes ja Toni kaikkiaan reissullaan kulkevat? Monenko päivän kuluttua (puolen vuorokauden tarkkuudella) he kääntyvät vuoren laelta takaisinpäin?

Kuva: Javier Díaz Barrera / Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)

Kuva: Javier Díaz Barrera / Flickr (CC BY-NC-SA 2.0)

Ratkaisu: Jokainen virsta kuljetaan kahteen kertaan. Tasamaan kahteen virstaan kuluu aikaa puoli päivää, ja vastaavasti ylämäkeen kuljettu kolmannespäivän virsta ja alamäkeen kuljettu sama kuudennespäivän virsta kuluttavat yhteensä puolikkaan päivämatkan. Siis jokaisen puolen päivämatkan aikana kuljetaan kaksi virstaa, ja koska matkapäiviä oli kuusi, on matkan kokonaispituus 12\cdot 2 = 24 virstaa.

Jos koko matka olisi tasamaata, kuluisi 12 virstan menomatkaan kolme päivää. Jos koko matka olisi ylämäkeä, aikaa kuluisi neljä päivää. Todellinen matka-aika on siis jotain tältä väliltä, joten puolen päivän tarkkuudella matka huipulle kestää kolme ja puoli päivää.

Tämä pulma oli muunnelma Lewis Carrollin tarinasta teoksessa A Tangled Tale (Macmillan, 1885).