Pythagoraan piirakka

Kaikkihan me tunnemme Pythagoraan, tuon antiikin Kreikassa eläneen oppineen, jonka nimiin pantu lause (jota hän ei tietenkään ole itse keksinyt) on keskeistä koulugeometriaa peruskoulusta alkaen. Pythagoras on myös hollantilainen matematiikkalehti, joka on ilmestynyt jo 1960-luvun alusta alkaen. Seuraava Pythagoras-lehdessä julkaistu hieno pulma tuli vastaan Alex Bellosin pulmapalstalla The Guardianissa.

Isoissa juhlissa on hillittömän kokoinen piirakka. Ensimmäinen juhlavieras saa yhden prosentin piirakasta, seuraava kaksi prosenttia jäljellä olevasta piirakasta, kolmas kolme prosenttia jäljellä olevasta piirakasta ja niin edelleen, kunnes sadas vieras saa koko viimeisen palan. Kuka saa suurimman palan?

No niin, tämä pulma olisi tietenkin helppo ratkaista tietokoneen tai laskimen avulla laskemalla likiarvot kaikista paloista suhteessa koko piirakkaan, mutta itse ajattelin, että tähän täytyy olla joku kiinnostavampikin ratkaisutapa. Ja tovin pohdittuani sellaisen löysinkin: tehtävä ratkeaa pelkkää kynää ja paperia käyttäen, eivätkä tarvittavat laskutoimitukset ole lukion pitkän matematiikan kakkoskurssin tasoa hankalampia. Onnea matkaan!

Kuva: Ruth Hartnup / Flickr (CC BY 2.0)


Ratkaisu: Kymmenes vieras saa suurimman palan. Osoitetaan tämä tutkimalla peräkkäisten osuuksien suhteellisia kokoja. Näytetään siis, että kymmenenteen vieraaseen asti palaset kasvavat ja sen jälkeen ne pienenevät.

Olkoon jäljellä olevan piirakan määrä vieraan k vuorolla P. Näin ollen vieraan k osuus on \frac{k}{100}\cdot P. Piirakkaa jää jäljelle \frac{100-k}{100}\cdot P, josta seuraavan vieraan palan suuruus on näin ollen \frac{k+1}{100}\cdot\frac{100-k}{100}\cdot P. Ratkaistaan nyt epäyhtälö

    \[\frac{k}{100}\cdot P>\frac{k+1}{100}\cdot \frac{100-k}{100}\cdot P.\]

Positiivisena lukuna P voidaan jakaa nyt pois. Kun epäyhtälö kerrotaan 10000:lla ja siirretään kaikki termit samalle puolelle, saadaan muoto

    \[k^2+k-100>0.\]

Vasemmanpuoleisen lausekkeen nollakohdat ovat

    \[k=\frac{-1\pm\sqrt{401}}{2}.\]

Tässä vaiheessa tavalliset ihmiset viimeistään tarttuisivat laskimeen, mutta meidän tapauksessamme se ei ole tarpeen – olihan tavoitteemme ratkoa koko pulma vain kynän ja paperin avulla. Nyt \sqrt{400}=20, joten \sqrt{401} on vain vähän enemmän (joka tapauksessa reilusti alle 21). Siis lausekkeemme nollakohdat ovat riittävällä tarkkuudella k\approx -10,5 ja k\approx 9,5. Koska lausekkeen k^2+k-100 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, epäyhtälön k^2+k-100>0 ratkaisujoukkona ovat (suunnilleen) välit k<-10,5 ja k>9,5 (joista negatiivisella vaihtoehdolla ei kannaltamme ole väliä).

Tulkitaan tämä ratkaisu. Alkuperäinen epäyhtälömme vastaa kysymykseen, milloin edellinen pala on seuraavaa suurempi. Saamastamme ratkaisusta voidaan päätellä, että tämä on totta suunnilleen k:n arvosta 9,5 alkaen. Koska k saa vain kokonaislukuarvoja, pätee tulos siis arvosta k=10 alkaen. Kymmenes pala on siis suurempi kuin yhdestoista, mutta yhdeksäs pala ei ole suurempi kuin kymmenes. Suurimman palan saa siis kymmenes vieras, sillä kymmenes on suurempi kuin yhdestoista, joka taas on suurempi kuin kahdestoista joka on suurempi kuin kolmastoista ja niin edelleen.

Toki kaikkien osuuksien likiarvotkin on helppo laskea, ei tosin ilman apuvälineitä. Oheisen taulukon luontiin Excelillä ei mennyt kuin hetki. Kymmenes vieras rohmuaa melkein 6,3 prosenttia koko piirakasta. Jos se jotakuta nyt kiinnostaa.

Piirakkaosuudet

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *