Ikä on vain numero

Koska maailma tuntuu siirtyneen faktojen jälkeiseen aikaan, myös täällä Pulmakulmassa lienee tarpeen venyttää totuuden rajoja. Osoitetaan matemaattista induktiota käyttäen, että kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä.

Matemaattisessa induktioperiaatteessahan on kyse siitä, että jos voidaan osoittaa, että

  1. jokin luonnollisia lukuja tai jotain sen osajoukkoa koskeva väittämä pätee pienimmälle tarkasteltavalle luvulle, ja että
  2. väitteen totuudesta luvulle k seuraa väitteen totuus luvulle k+1,

niin tällöin väite pätee kaikille tarkasteltaville luvuille. Induktioperiaatteen hyvä havainnollistus löytyy esimerkiksi tästä.

No niin, sitten asiaan. Osoitetaan ensin, että yhden ihmisen joukossa kaikki ovat keskenään samanikäisiä. Tämä on tietenkin triviaalisti totta.

Tehdään seuraavaksi induktio-oletus, että k suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Riittää osoittaa, että tästä seuraa se, että sattumanvaraisten k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Tämä voidaan todistaa osoittamalla, että tämän joukon sattumanvaraiset henkilöt H ja S ovat samanikäisiä.

Poistetaan ensin k+1 suomalaisen joukosta henkilö H. Nyt jäljelle jääneet kaikki k suomalaista ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis S on samanikäinen kaikkien muiden kanssa, esimerkiksi henkilön M kanssa. Poistetaan seuraavaksi alkuperäisestä k+1 suomalaisen joukosta henkilö S. Nyt jäljelle jääneet k henkilöä ovat induktio-oletuksen mukaan samanikäisiä. Siis esimerkiksi H ja M ovat nyt samanikäisiä.

Mutta nythän toisaalta S ja M ovat samanikäisiä ja toisaalta H ja M ovat samanikäisiä, joten välttämättä H ja S ovat samanikäisiä. Olemme siis onnistuneet osoittamaan, että k+1 suomalaisen joukossa kaikki ovat samanikäisiä. Induktioperiaatteen mukaan kaikki suomalaiset ovat samanikäisiä!

No, tuota. Oikeasti minä en ole samanikäinen veljeni kanssa. Viikon vaikea pulma on selvittää, mikä meni pieleen. Onko matematiikka rikki?


Ratkaisu: Matematiikka ei onneksi ole rikki, vaan todistuksessa on ihan oikea virhe. Henkilöistä S ja H poikkeavan henkilön M olemassaoloa ei voida olettaa. Jotta näin voitaisiin tehdä, olisi pitänyt pystyä osoittamaan, että kaikissa kahden henkilön joukoissa on vain samanikäisiä. Ja tämähän ei tietenkään onnistu.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *