Pennirinki

Seuraava pulma on Charles Lutwidge Dodgsonin alias Lewis Carrollin kirjasta Pillow-Problems vuodelta 1895. Kirjassa on 72 ongelmaa, jotka Dodgson kertoo kehitelleensä ja ratkoneensa päässänsä unettomina öinä. Kirjan ongelmien vaikeustaso vaihtelee hurjasta helpohkoihin, ehkäpä yläpäätä painottaen. Tämä ongelma on sieltä kevyemmästä päästä.

Viisi roistoa istuu ringissä ja jokaisella miehellä on yhtä monta penniä. Älykkäin heistä ehdottaa pientä pennipeliä. Ensinnäkin kaikki saavat numeron, älykkäin ykkösen, seuraava kakkosen, sitten kolmonen, nelonen ja vielä vitonen. Nyt älykkäin laittaa kaikki penninsä pussiin, antaa sen kolmoselle, jonka pitää ensin ottaa kummallekin naapurilleen pussista naapurin numeron osoittama määrä pennejä. Sitten kolmosen pitää laittaa pussiin puolet siitä määrästä pennejä, joka pussissa oli sen saapuessa hänelle. Sitten kolmonen antaa pussin vitoselle, joka antaa myös pussista pennit vierustovereille, lisää puolet siitä summasta, joka pussissa oli sen tullessa hänelle, ja antaa pussin kaksi paikkaa eteenpäin. Jos sattuisi käymään niin, että rahanlisäysvaiheessa itsellä ei olisi tarpeeksi rahaa pussin täydentämiseen, saisi kenen tahansa muun paitsi numero ykkösen pennipinosta täydentää puuttuvan määrän.

Kun pussi tulee takaisin ykköselle, hän nakkaa kaksi saamaansa rahaa pussiin, vetää pussin nyörit kiinni ja pakenee vauhdilla paikalta. Muut neljä roistoa jäävät hölmistyineinä katsomaan tyhjin käsin – ryökäle nappasi kaikki rahat! Kuinka monta penniä kullakin roistolla oli aluksi?


Ratkaisu: Olkoon kullakin konnalla aluksi k kolikkoa. Peli etenee seuraavasti:

  1. Numero 3 sai pussin jossa on k kolikkoa ja hän antoi pois 2+4=6 kolikkoa. Sitten hän laittaa pussiin \frac{k}{2} kolikkoa, joten pussiin jää k+\frac{k}{2}-6=\frac{3}{2}k-6 kolikkoa.
  2. Numero 5 jakaa pois 4+1=5 kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussissa olleen rahasumman. Loppusumma hänen vuoronsa jälkeen on siis \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5.
  3. Numero 2 jakaa pois 1+3=4 kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussin summan. Pussin rahamäärä on hänen jälkeensä \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4.
  4. Numero 4 jakaa pois 3+5=8 kolikkoa ja puolitoistakertaistaa pussin summan. Pussin rahamäärä on hänen jälkeensä \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4\right)-8.
  5. Numero 1 lisää pussiin kaksi kolikkoa, jonka jälkeen pussissa on 5k kolikkoa.

Tästä saadaan yhtälö 

    \[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}k-6\right)-5\right)-4\right)-8+2=5k,\]

jonka ratkaisu on k=696.

Sivumennen sanoen: olisi ehkä jäänyt ratkaisematta ilman kynän ja paperin apua. Eli onnea vain Lewis Carrollille, jos päässään yöllä tämän pyöritteli loppuun asti.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *