Pythagoraan luvut

Näyttökuva 2016-1-24 kello 16.50.39Pythagoras (n. 585–496 eaa.) oli antiikin Kreikan tunnetuimpia matemaatikkoja. Hän perusti esoteerisen koulukunnan, jossa matematiikkaan sotkettiin uskonnollisia elementtejä. Pythagoralaisesta koulukunnasta on peräisin paljon tiedettä – filosofiaa, matematiikkaa, uskontotiedettä ja musiikkia.

Ehkäpä tunnetuin matemaattinen tulos on Pythagoraan lause. Se ei ole Pythagoraan keksimä, sillä tulos tunnettiin jo satoja vuosia aiemmin monissa Välimeren alueen ja Lähi-Idän kulttuureissa. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa suoraa kulmaa vastaavan sivun (hypotenuusan) pituuden neliö on yhtä suuri suoran kulman kylkien (kateettien) neliöiden summan kanssa. Tai siis tutummin (ks. kuva): a^2+b^2=c^2.

Pythagoraan lauseen toteuttavia lukukolmikoita kutsutaan Pythagoraan luvuiksi. Esimerkiksi 3, 4 ja 5 ovat Pythagoraan lukuja, sillä 3^2+4^2=5^2.

Pythagoraan luvuiksi kelpaavat melkein mitkä tahansa luvut, mutta eivät aivan mitkä tahansa. Osoita, että 1, 2 ja 4 ovat ainoat luvut, jotka eivät voi olla lyhimpiä sivuja suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kaikki sivut ovat kokonaislukuja.


Ratkaisu: Tämä ongelma tuli mieleeni ihan äkkiseltään kesken matematiikan oppituntini, kun äkkäsin, kuinka mikä tahansa pariton luku ykköstä lukuunottamatta saadaan Pythagoraan kolmikon pienimmäksi luvuksi. Aloin tutkia aivan tietynlaisia lukukolmikkoja, joista pienin luku on pariton. 3, 4, 5. Tai 5, 12, 13. Tai 7, 24, 25. Ja niin edelleen. Äkkiä tajusin, että tässä oleva kuvio yleistyy: mikä tahansa pariton luku voidaan laittaa pienimmäksi luvuksi sellaisessa Pythagoraan kolmikossa, jossa kaksi suurempaa lukua ovat peräkkäisiä. Tämä toimii, koska jokaisen parittoman luvun neliö on pariton, eli kahden peräkkäisen luvun summa. Ja juuri nämä ovat ne kaksi peräkkäistä lukua, jotka muodostavat pienimmän lukumme kanssa Pythagoraan kolmikon. Siis vaikkapa 7^2=49=24+25 ja edelleen 24^2+24+25=25^2, ja Pythagoraan lauseen mukainen tulos 24^2+7^2=25^2 on valmis. Nyt voidaan heti sanoa, että koska 13^2=169=84+85, niin varmasti 84^2+13^2=85^2.1

Tämän jälkeen tajusin nopeasti, että koska mikä tahansa Pythagoraan kolmikon monikerta on myös Pythagoraan kolmikko, ainoat mahdolliset luvut, jotka eivät voi olla Pythagoraan luvuista pienimpiä, ovat kakkosen potensseja. Nyt sain hieman apua kollegaltani Antti Saariselta, joka löysi kokeilemalla pari vastaesimerkkiä ensimmäiselle hypoteesilleni, että kakkosen potenssit jäävät kolmikoiden ulkopuolelle. Niinpä oli löydettävä vielä pienin kakkosen potenssi, joka sopii Pythagoraan kolmikkoon pienimmäksi.

Olkoon kolmiossa voimassa a^2+b^2=c^2. Tällöin a^2=c^2-b^2, joka puolestaan voidaan kirjoittaa muotoon a^2=(c+b)(c-b). On siis yritettävä löytää sellaiset luvut b ja c, että niiden summan ja erotuksen tulo olisi jokin kakkosen potenssi. Ja nyt 8^2=64=32\cdot 2=(17+15)(17-15), mutta 4^2=16=(5+3)(5-3) ei kelpaa. Myöskään luvuille 2 ja 1 ei tällaista tuloa voida löytää.

Näin ollen voidaan todeta, että 1, 2 ja 4 todellakin ovat ainoat positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät voi olla lyhimpiä sivuja suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kaikkien sivujen pituudet ovat kokonaislukuja. Se, onko tästä mitään hyötyä, on eri asia. Minun mielestäni tulos on kuitenkin sangen hauska.

  1. Tämän ominaisuuden voisin varmaan todistaa yleisestikin takertumatta yksittäisiin esimerkkeihin, mutta en näe sitä nyt tarpeelliseksi – mielestäni on ilmeistä, että ominaisuus yleistyy.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *