Buffonin neula

Gianluigi Buffon. Kuva: Nazionale Calcio/Flickr (CC BY 2.0)

Gianluigi Buffon. Kuva: Nazionale Calcio/Flickr (CC BY 2.0)

Ei, jutun otsikko ei hauku Gigi Buffonia seulaksi. Otetaan sen sijaan käsittelyyn pulma, josta olin kuullut aiemminkin, muistaakseni noin vuonna 2009 Päivölän kansanopiston matematiikkalinjan Pythagoraan polku -kilpailun vierailuluennolla professori Robert Pichéltä. Mieleeni sen palautti Jordan Ellenbergin kirja How Not To Be Wrong. Ellenbergin kirja on myös tämän pulman ratkaisun lähteenä.

Nyt puhutaan nimittäin Georges-Louis LeClercistä, Buffonin kreivistä, joka vuonna 1733 toi ensi kerran geometrian ja todennäköisyyslaskennan yhteen. Lämmittelyksi voit tutustua vaikkapa tähän aiempaan ongelmaamme. Kolikonheitto-ongelman yleisen ratkaisun esitettyään kreivi Buffon lataa kovat piippuun.

Ajatellaan tasalevyisistä pitkistä lankuista koostuvaa lattiaa. Lattialle pudotetaan ohut neula, joka on täsmälleen lankkujen levyinen. Millä todennäköisyydellä neula putoaa lankun reunan päälle?

Kreivi Buffonin oma ratkaisu ongelmaan on tiukkaa matemaattista analyysiä, mutta pulma ratkeaa myös eräällä toisella tavalla, jossa tarvitaan vain hyvin yksinkertaisia matemaattisia apuvälineitä. Nimittäin yli sata vuotta Buffonin jälkeen Joseph-Émile Barbier esitti ratkaisun, joka perustuu odotusarvon käsitteeseen ja erityisesti sen additiivisuuteen, eli siihen, että useamman tapahtuman yhteinen odotusarvo on erillisten odotusarvojen summa. Otapa tästä vinkistä kiinni ja yritä ratkaista pulma!

Tämä on vuoden 2015 viimeinen Pulmakulman pulma, joten käytän samalla tilaisuuteni kiittää seurasta tämän blogin ensimmäisten kuukausien aikana. Minulla on ollut hauskaa, toivottavasti teilläkin!

Buffonin kreivin patsas Pariisin Jardin des Plantes'ssa. Kuva: Jean-Pierre Dalbéra/Flickr (CC BY 2.0)

Buffonin kreivin patsas Pariisin Jardin des Plantes’ssa. Kuva: Jean-Pierre Dalbéra/Flickr (CC BY 2.0)


Ratkaisu: buffon1On mahdollista, että neula joko putoaa reunan päälle tai sitten ei. Olkoon p todennäköisyys sille, että neula putoaa reunalle. Tämän vastatapahtuma on se, että neula ei osu reunalle. Tämän todennäköisyys on 1-p. Näin pääsemme laskemaan odotusarvon reunan ja neulan leikkauspisteiden määrästä: 0\cdot (1-p)+1\cdot p=p1.

Koska odotusarvo on additiivinbuffon2en, eli E(X+Y)=E(X)+E(Y), voidaan päätellä, että kahden neulan pudottamisessa leikkauskohtien lukumäärän odotusarvo on 2p. Edelleen, jos pudotetaan vaikkapa kolme yhteenliitettyä neulaa, on odotusarvo leikkauspisteille 3p, sillä liittäminen ei vaikuta yksittäisen neulan osumatodennäköisyyteen.

Voidaan päätellä, että jos lankkujen väli on a, niin miten tahansa väännellyn neulan, jonka pituus on k\cdot a, leikkauskohtien odotusarvo on k\cdot p. Eli esimerkiksi jos neulan pituus olisi \pi\cdot a, olisi leikkauskohtien odotusarvo \pi\cdot p. Ongelman loppuratkaisu onkin tässä.
buffon3Neula, jonka pituus on \pi\cdot a, voidaan taivuttaa ympyräksi, jonka säde on \frac{1}{2}a. Tällainen ympyrä osuu välttämättä lankkujen reunoille täsmälleen kahdesti. Siispä \pi\cdot p =2, josta välittömästi

    \[p=\frac{2}{\pi}\approx 0,637.\]

  1. On myös periaatteessa mahdollista, että neula putoaa vaakasuoraan niin, että sen molemmat päät osuvat reunalle. Tämä on kuitenkin ns. melkein mahdoton tapahtuma, jonka todennäköisyys on 0, joten se voidaan jättää laskuista.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *