Kaksi rahakuorta

Tämä ongelma liittyy oleellisesti kolmen rahakuoren pulmaan, joten suosittelen tutustumaan siihen ja sen ratkaisuun ensin. Luvassa on ensinäkemältä hämmästyttävä paradoksi.

Saat kirjekuoren, jossa on tietty määrä rahaa. Minulla on suljettu kirjekuori, jossa on joko kaksi kertaa enemmän rahaa kuin sinun kuoressasi tai vain puolet rahoistasi. Kannattaako sinun vaihtaa?

Päätellään kuten kolmen kuoren ongelmassa, että vaihtaminen kannattaa:

  1. Olkoon kuoressasi X euroa.
  2. Rahasumma X voi olla joko suurempi tai pienempi kuin toisen kuoren rahasumma.
  3. Toisen kuoren rahasumma on siis \frac{X}{2} todennäköisyydellä \frac{1}{2} tai 2X todennäköisyydellä \frac{1}{2}.
  4. Näin ollen rahasumman odotusarvoksi saadaan \frac{1}{2}\cdot \frac{X}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2X=\frac{5}{4}X.

Uskomaton tulos! Tämä sotii vahvasti arkista järkeilyä vastaan. Onko vika päättelyssä vai arkijärjessä?


Ratkaisu: Tällä kerralla ongelma todella on päättelyssä, tarkemmin sanottuna kohdassa 3. Emme voi lähteä siitä, että toisessa kuoressa olisi 2X tai \frac{1}{2}X ja laskea odotusarvoa kuten kolmen kuoren ongelmassa. Tämä siksi, että ne molemmat eivät ole mahdollisia tapauksia.

Oikeaa päättelyä olisi todeta, että on kaksi rahakuorta, joissa on rahasummat X ja 2X, mutta emme tiedä, kumpi niistä on hallussamme. Nyt hallussamme olevan rahasumman odotusarvo on \frac{1}{2}\cdot X+\frac{1}{2}\cdot 2X=\frac{3}{2}X, mikä puolestaan tarkoittaa, että on yhdentekevää, vaihtaako vai ei. On yhtä todennäköistä, että hallussa on iso tai pieni rahasumma, eikä se vaihtamalla muutu.

Tämänkin pulman lähteenä oli Thomas Poveyn matematiikka- ja fysiikkaongelmia käsittelevä opus Professor Povey’s Perplexing Problems.

6 thoughts on “Kaksi rahakuorta

  1. Mikä tuossa tuloksessa on uskomatonta? Kolmen rahakuoren kohdalla ensifiilis oli, että ihan sama vaihtaako vai ei, koska molemmilla puolilla odotusarvo on X, mutta sehän ei pidä paikkaansa, vaan odotusarvo on X vain silloin kuin toisessa kuoressa on 2X ja toisessa 0X rahaa – silloin keskiarvoksi tulee X.

    Toki arkijärjellä puolittaminen ja kaksinkertaistaminen tuntuvat vastakkaisilta operaatioilta, mutta odotusarvon kohdalla se ei vain mene niin.

    • Niin, no. Tässä kyseisessä tapauksessa kannattaa kuunnella arkijärkeä. Päättely on nimittäin virheellinen, ja \frac{5}{4}X on väärä odotusarvo. Kysymys kuuluu, että missä vika, ja että mikä on oikea ratkaisu.

  2. Niin. Kun kirjekuoria on vain kaksi, ei voida itse asiassa edes odottaa, että se 2X-kuori olisi ylipäätään olemassa.

    • Hei, vastapelurina olen minä! Jos minä sanon, että toisessa kuoressa on joko tuplat tai puolet, voit kyllä minuun luottaa, että se tuplakuorikin olisi mahdollinen. Virhe on hienovarainen, mutta toisaalla.

  3. Jos kuori 1 on X ja kuori 2 on 2X, meillä on kaksi keissiä:

    – Pidän kuoren 1: häviän X vaihtoon verrattuna
    – Otan kuoren 2: voitan X pitämiseen verrattuna

    Jos kuori 1 on 2X ja kuori 2 on X, keissit ovat:

    – Pidän kuoren 1: voitan X
    – Otan kuoren 2: häviän X

    Nämä kumoavat toisensa ja odotusarvo on pyöreä nolla?

    • Jos lasketaan absoluuttisilla rahasummilla, jää odotusarvoksi jää tuo \frac{3}{2}X. Tuo Mikon ratkaisu ottaa lähtökohdaksi odotettavissa olevan rahasumman muutoksen, jossa puhutaan periaatteessa ihan samoista jutuista. Yhtä kaikki, kahden kuoren tapauksessa on samantekevää, vaihtaako vai ei.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *