Monthly Archives: elokuu 2015

0

49 jakajana

|

Ensin huomataan, että

    \[\frac{\frac{1}{50}}{1-\frac{1}{50}}=\frac{\frac{1}{50}}{\frac{49}{50}}=\frac{1}{49}.\]

Siis geometriseksi sarjaksi kehiteltynä

    \[\frac{1}{49}=\frac{1}{50}+\left(\frac{1}{50}\right)^2+\left(\frac{1}{50}\right)^3+\left(\frac{1}{50}\right)^4+\ldots .\]

Jos näin muodostuvaa desimaalilukua käsitellään kahden desimaalin palasina, ovat jälkimmäiset kaksi aina yhden viideskymmenesosan eli kaksi sadasosaa edellisistä. Käytännön laskutoimituksissa tämä johtaa yllättävän helppoon desimaalikehitelmän muodostamiseen. Toimi seuraavasti:

  1. Kerro osoittaja kahdella. Kaksi ensimmäistä desimaalia on tässä. Jos tulos on vähintään 50, lisää siihen 1. Jos tulos on vähintään sata, jätä ykkönen alusta pois. Jos tulos on alle 10, lisää nolla eteen.
  2. Kerro edelliset kaksi desimaalia kahdella. Jos tulos on vähintään 50, lisää siihen 1. Jos tulos on vähintään sata, jätä ykkönen alusta pois. Jos tulos on alle 10, lisää nolla eteen.
  3. Ja niin edelleen.

Tämä algoritmi todella toimii! Ja jossain vaiheessa se jaksokin tulee kyllä vastaan – pakkohan sen on, koska kyseessä on ilmeinen rationaaliluku. (Jakson pituus tässä tapauksessa on muuten korkeintaan 42 numeroa.)

Otetaan esimerkiksi luku \frac{18}{49}. Kerrotaan ensin osoittaja kahdella: 2\cdot 18=36. Luvun alku on siis 0,36. Edelleen 36\cdot 2 =72, mutta koska 72\geq 50, lisätään 1. Alku on siis 0,3673. Nyt 73\cdot 2=146, joten tästä jätetään ykkönen alusta pois. Olemme saaneet 0,367346. Ja kun tästä jatkamme, saamme

    \[\frac{18}{49}=0,367346938775510204081632\ldots.\]

Kokeile nyt itse! Muodosta desimaalikehitelmät luvuille \frac{11}{49}, \frac{41}{49} ja \frac{8}{49}.

Jos lukuja jaetaan 7:llä, liittyy näin muodostuviin desimaalikehitelmiin eräs hauska ominaisuus. Muodosta desimaalikehitelmät luvuille \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7} ja \frac{6}{7}. Huomaatko? Käytä apuna taitoasi 49:llä jakamisessa.

Vastaava temppu yleistyy myös 499:llä, 4999:llä, 49999:llä jne. jakamiseen. Pienellä vaivalla sovellusalueita löytyy lisääkin.

Opin tämän tempun Colin Beveridgeltä. Lähdeteksti löytyy osoitteesta http://www.flyingcoloursmaths.co.uk/mathematical-ninja-divides-49/.

0

Lävistäjä

|

neljännesympyrä

Neljännesympyrän sisällä on kuvan mukainen suorakulmio. Laske lävistäjän BD pituuden tarkka arvo.

Tämä mainio pikku ongelma on napattu jälleen Martin Gardnerilta. Ratkaisitko alle minuutissa?

Ratkaisu ongelmaan on tässä.

0

Julkisivuremontti

|

Pulmablogi hakee vähän toimivampaa ulkoasua. Olen joutunut ongelmiin erityisesti matemaattisen typografian, eli \LaTeX-koodauksen kanssa, enkä oikein meinaa löytää hyvää ratkaisua tähän. Tästä syystä lähiaikoina sivuilla nähtäneen monenlaisia kokeiluja sekä huonommin ja paremmin luettavaa matematiikkaa. Joka tapauksessa on selvää, että sivuston ulkoasu muuttuu sangen erilaiseksi, sillä nykyinen sivuteema ei taida tarpeisiini sittenkään kunnolla taipua. Kärsivällisyyttä, ystävät, kyllä tämä tästä ehkä.

4

Kuinka monta rationaalilukua on?

|

Montako on paljon? Kumpi joukoista on suurempi? Kysymys on yksinkertainen siihen asti, kun kaikki joukon alkiot voidaan luetella. Se joukko, jossa on enemmän alkioita, on suurempi. Niin kauan kuin tarkastelemme joukkoja, joissa on sata tai miljardi tai vaikka 10^{4023}  alkiota, on käsiteltäviä alkioita vain äärellinen, laskettavissa oleva määrä, joka voidaan ilmoittaa luonnollisella luvulla.

Asiat muuttuvat, kun alkioita onkin äärettömästi. Äärettömyys on äärettömän kiehtova teema matematiikassa (ja matematiikan opettajien ilmeiset vitsit ovat äärettömän kehnoja). Äärettömyyksiä on eri kokoisia. Numeroituvasti ääretön joukko on sellainen, jonka alkiot voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä, mikäli aikaa olisi loputtomiin käytettävissä. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\} on numeroituvasti ääretön, kuten myös vaikkapa parillisten luonnollisten lukujen joukko \{0,2,4,6,\ldots\}. Numeroituvasti äärettömillä joukoilla sanotaan olevan sama kardinaaliluku, mikä tarkoittaa, että (sikäli kuin joukkojen alkioden lukumäärästä voidaan mielekkäästi puhua) joukoissa on yhtä monta alkiota.

Toki näyttää siltä, että luonnollisia lukuja on tuplasti enemmän kuin parillisia luonnollisia lukuja, mutta itse asiassa onkin niin, että niitä on ”yhtä äärettömästi”. Mikä olisi kätevä tapa osoittaa tämä?

Rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, eli kun valitaan mitkä tahansa kaksi reaalilukua, niin niiden väliin mahtuu aina rationaaliluku. Tämä ominaisuus ei selvästikään ole esimerkiksi luonnollisilla luvuilla voimassa. Mutta voitaisiinko silti osoittaa, että rationaalilukuja on ”yhtä äärettömästi” kuin luonnollisia lukuja?

0

Lisää tyttöjä – ratkaisu

|

Eräässä teoreettisessa valtiossa haluttiin, että naisten osuus väestöstä kasvaisi. Niinpä valtion parlamentti hyväksyi lain, jonka mukaan kuhunkin perheeseen piti saada tyttölapsi. Jos perheeseen oli syntynyt tyttö, oli lasten hankkiminen lopetettava. Jos taas perheessä oli vain poikalapsia, oli lasten hankkimista jatkettava tytön syntymiseen asti. Oletetaan, että jokainen syntyvä lapsi on joko tyttö tai poika. Oletetaan myös, että tyttöjen ja poikien syntymätodennäköisyydet ovat samat. Kun populaation koko vähitellen tasoittuu, kuinka suureksi tyttöjen osuus syntyvistä lapsista kasvaa? Jatko-ongelmana voidaan pohtia, mikä on suurin mahdollinen tyttöjen osuus populaatiosta ja millä (riittävän humaaneilla) keinoilla se voidaan saavuttaa.

Ongelman ratkaisu on hyvin yksinkertainen, ja samalla saadaan vastaus myös jatko-ongelmaan. Jos nimittäin tyttöjen ja poikien syntymätodennäköisyydet ovat kuitenkin samat, on lapsista puolet tyttöjä ja puolet poikia, eikä suhde millään peukaloinnilla siitä muutu.

Asia voidaan järkeillä vielä vaikka seuraavasti. Perheiden ensimmäisistä lapsista puolet on tyttöjä, puolet poikia. Perheiden toisista lapsista puolet on tyttöjä ja puolet poikia. Perheiden kolmansista lapsista puolet on tyttöjä, puolet poikia. Ja niin edelleen. Puolet ja puolet.