Kuinka monta rationaalilukua on?

Montako on paljon? Kumpi joukoista on suurempi? Kysymys on yksinkertainen siihen asti, kun kaikki joukon alkiot voidaan luetella. Se joukko, jossa on enemmän alkioita, on suurempi. Niin kauan kuin tarkastelemme joukkoja, joissa on sata tai miljardi tai vaikka 10^{4023}  alkiota, on käsiteltäviä alkioita vain äärellinen, laskettavissa oleva määrä, joka voidaan ilmoittaa luonnollisella luvulla.

Asiat muuttuvat, kun alkioita onkin äärettömästi. Äärettömyys on äärettömän kiehtova teema matematiikassa (ja matematiikan opettajien ilmeiset vitsit ovat äärettömän kehnoja). Äärettömyyksiä on eri kokoisia. Numeroituvasti ääretön joukko on sellainen, jonka alkiot voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä, mikäli aikaa olisi loputtomiin käytettävissä. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\} on numeroituvasti ääretön, kuten myös vaikkapa parillisten luonnollisten lukujen joukko \{0,2,4,6,\ldots\}. Numeroituvasti äärettömillä joukoilla sanotaan olevan sama kardinaaliluku, mikä tarkoittaa, että (sikäli kuin joukkojen alkioden lukumäärästä voidaan mielekkäästi puhua) joukoissa on yhtä monta alkiota.

Toki näyttää siltä, että luonnollisia lukuja on tuplasti enemmän kuin parillisia luonnollisia lukuja, mutta itse asiassa onkin niin, että niitä on ”yhtä äärettömästi”. Mikä olisi kätevä tapa osoittaa tämä?

Rationaaliluvut ovat tiheitä reaalilukujen joukossa, eli kun valitaan mitkä tahansa kaksi reaalilukua, niin niiden väliin mahtuu aina rationaaliluku. Tämä ominaisuus ei selvästikään ole esimerkiksi luonnollisilla luvuilla voimassa. Mutta voitaisiinko silti osoittaa, että rationaalilukuja on ”yhtä äärettömästi” kuin luonnollisia lukuja?

4 thoughts on “Kuinka monta rationaalilukua on?

  1. Toimisiko tämä?

    Kaikki rationaaliluvut voidaan esittää luonnollisilla luvuilla niin, että luonnollinen luku jonka binääriesityksessä on p nollaa ja q ykköstä vastaa rationaalilukua p/q. Selvästi jokaiselle rationaaliluvulle p/q on olemassa vastaava luonnollinen luku tällä tavalla, joten rationaalilukuja ja luonnollisia lukuja on ”yhtä paljon”. Negatiivisuuden voi merkitä vaikka viimesellä (vähiten merkitsevällä) bitillä.

    • En nyt ihan osta tätä ratkaisua. Esimerkiksi binääriluvut 1010, 1100 ja 1010101010101010 vastaisivat nyt samaa rationaalilukua.

      • Mitä haittaa sillä on, että yhdellä rationaaliluvulla on monta esitystä? Jokatapauksessa kaikki rationaaliluvut voidaan esittää luonnollisilla luvuilla.

        • Tjaa. Ehkäpä tuon tyylinen ratkaisu voisi toimiakin, jos vielä hieman täsmennetään etumerkkikysymystä.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *