Juokseva koira – ratkaisu

Koira lähtee juoksemaan vakionopeudella 50 metriä pitkän jonon perältä kohti jonon kärkeä. Jono lähtee samaan aikaan liikkeelle, myös vakionopeudella. Kun koira saavuttaa jonon kärjen, se kääntyy välittömästi takaisin (oletetaan siis, että tähän ei kulu aikaa) ja jatkaa matkaansa samalla vakionopeudella kohti jonon häntää. Kun koira saavuttaa jonon hännän, on jono edennyt 50 metriä. Kuinka pitkän matkan koira juoksi?

Juoksevan koiran ongelman ratkaiseminen vaatii hieman yksinkertaista ymmärrystä fysiikasta (mikä kuvaa täsmälleen omaa tasoani) sekä lievää luovuutta käytettävien yksiköiden kanssa. Päärooli on nopeuden, matkan ja ajan välisellä perusyhteydellä v=\frac{s}{t}, josta saadaan, että aika t voidaan ilmaista  t=\frac{s}{v}.

Aletaan ensin muokata käytettäviä yksiköitä meille sopiviksi. Olkoon 50 metriä 1 ”matka” ja olkoon ajan  t yksikkönä ”aika, joka jonolta kuluu 1 matkan kulkemiseen”. Tällöin jonon nopeutta voidaan merkitä 1:llä.koiranratkaisuTutkitaan sitten koiran juoksemiseen kuluvaa aikaa. Jaetaan aika kahteen osaan, jonon kärjen saavuttamiseen  t_1 ja jonon hännille palaamiseen  t_2. Nyt siis t_1 on aika, jossa koira juoksee 50 metriä (eli yhden ”matkan”) jonoa enemmän. Merkitään koiran nopeutta  x, jolloin sen nopeus suhteessa jonoon on  x-1. Näin ollen  t_1=\frac{1}{x-1}. Vastaavasti paluumatkalla koiran nopeus suhteessa jonoon on  x+1, joten  t_2=\frac{1}{x+1}. Koska  t_1+t_2=1, saadaan yhtälö, joka ratkaisee ongelman:  \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1.

Yhtälö saadaan muokattua muotoon x^2-2x-1=0. Tämän yhtälön juurista   x=1\pm\sqrt{2} vain positiivinen vaihtoehto x=1+\sqrt{2} hyväksytään. Koiran nopeus on siis  (1+\sqrt{2}) 50 metrin matkaa ajassa, joka jonolta 50 metriin kuluu, joten ongelman vastaus on  (1+\sqrt{2})\cdot 50=120,71\ldots\approx 121 metriä.

Juoksevan koiran ongelma johtaa toiseen, hieman haastavampaan pulmaan: mitäpä, jos koira juoksisikin neliön muotoisen marssimuodostelman ympäri? Jos neliön sivu olisi 50 metriä ja muodostelma etenisi 50 metriä, kuinka pitkän matkan koira juoksisi? Ratkaisussa tarvittava yhtälö on vain hieman monimutkaisempi kuin tässä esitelty. Kokeilepa ratkaista, ja kerro tuloksistasi vaikkapa tämän blogin kommenttiosioon!

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *